Chương IV. §1. Bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ ÁP DỤNG
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ


GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Hà Nội, 2006
Chương 1
Bất đẳng thức Cauchy

Từ chương trình PTTHCS ta đã làm quên với BĐT cơ bản sau:


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


Dựa trên cơ sở này, chúng ta xây dựng các BĐT liên quan đến tam thức bậc hai => thiết lập và chứng minh BĐT Cauchy
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

TAM THỨC BẬC HAI
Tại Việt Nam và các nước Đông Âu:

BĐT giữa các giá trị trung bình cộng và trung bình nhân
BĐT Cauchy

BĐT Cauchy
Bunhiacovski,
Cauchy - Bunhiacovski
hoặc Cauchy - Schwarz

Theo các chuyên gia về BĐT và thông lệ quốc tế:

-BĐT tích phân dạng tương tự Cauchy mới có các tên trên.

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
Xét hai số dương a, b

Nếu tổng a + b = const  a.b đạt max khi a = b

Nếu tích a.b = const  (a+b) đạt min khi a = b

Hai nhận xét trên tương đương với:
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Với mọi bộ số ta luôn có bất đẳng thức sau




Bất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (®«i khi cßn ®­îc gäi lµ bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski hoặc bất đẳng thức Cauchy – Schwarz).




Ta có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng


có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc hai trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc để có bất đẳng thức tương tự như (1.8) bằng cách thay số 2 bởi số Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng


Sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
Thay vào (1.9), ta nhận được tức là (1.9) có dạng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY MỞ RỘNG



Đây chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết.

Bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.10) chỉ được sử dụng trong các trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Trong những trường hợp, nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cho
trước, ta cần chuyển đổi số 1 về số đã cho bằng 2 cách:

-Tịnh tiến
- Đồng dạng (tốt nhất với Bernoulli)
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Tiếp theo ta lại có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng


có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ thừa 1 của ), trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó, ta dễ dàng mở rộng một cách tự nhiên cho tam thức bậc
để có bất đẳng thức tương tự như (1.12) bằng cách thay luỹ thừa 2 bởi số và luỹ thừa 1 bởi Ta có:


dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG


Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở

rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số

phức. Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực đã cho như là phần thực của một

số phức

Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG PHỨC

Định lý 1. Với mọi bộ số ta luôn có đẳng thức sau



Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Định lý 2. Với mọi bộ số phức ta luôn có đẳng thức sau





Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.






Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG


Hệ quả 1. Với mọi bộ số phức ta luôn có bất đẳng thức sau





Giả sử ta có bộ các cặp số dương sao cho








Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG ĐẢO
Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì



hay


Từ đây suy ra
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG


Theo bất đẳng thức Cauchy, thì




Vậy nên



Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG


VD1: Xét 2 số nguyên dương x, y có tổng x + y = 9

Khi đó, tích (x.y) đạt max khi x = y = 9/2 (theo Cauchy).

Tuy nhiên x, y là nguyên dương  điều này không xảy ra.

Khái niệm dấu “=“ xảy ra khi hai số bằng nhau trong một số bài toán sẽ không thực hiện được  Phương pháp BĐT Cauchy cho chúng ta các phương thức đối mặt với một số bài toán thực tế.



Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

CÁC PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

VD2: Xét bộ số x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = 1

Tìm min của x2 + y2 + z2 hay x4 + y4 + z4

Ta chỉ cần biến đổi thông qua x + y + z, xy + yz + zx, x.y.z  tường minh.

Tuy nhiên khi tìm min của x2 + 2y2 + 3z2  kỹ thuật thông thường bị đổ vỡ vì lúc đó dấu “=“ không xảy ra tại vị trí x=y=z  phải lựa chọn các phương thức đặc biệt  thêm bớt các hệ số.



Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm

Từ bất đẳng thức


Ta suy ra với mọi cặp số không âm với tổng bằng 1 cho trước thì tích

đạt giá trị lớn nhất bằng khi

Tuy nhiên khi x, y biến đổi trong một miền và trong miền đó và x khác y thì chúng chỉ đạt được vị thế ở vị trí x và y gần nhau nhất  khái niệm độ gần đều




Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Xét các cặp số không âm .Ta gọi hiệu


là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số

Nếu ρ(x,y) = 0  x = y  cặp đều

Nếu x ≠ y  ρ(x,y) > 0  độ gần đều


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Khi ta có một cặp số a, b dương có tổng bằng 9.
Ta có một loạt các bộ số: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) có tổng bằng 9.
Tất cả có chung một đặc trưng:

(x.y) ≤ (9/2)2

Nếu xem xét kỹ ta thấy các tích:
1.8 < 2.7 < 3.6 < 4.5

Vậy cặp số có tổng không đổi thì khi x và y càng gần đều nhau thì tích càng lớn  ta được thứ tự sắp chặt của bộ số đó  tiến gần đến trường hợp đều.

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Định lý 1. Xét các cặp số không âm với tổng không đổi

(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó




Khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Định lý 2. Xét các cặp số không âm với tích không đổi

(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó



khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp






Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Định lý 3. (H. W. Melaughlin, F. T. Metcalf). Với mọi cặp dãy số dương

và sao cho hoặc

ta đều có




đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0,1].




Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Kỹ thuật tách và ghép bộ số
Thông thường chúng ta xem xét BĐT Cauchy là BĐT của 2 bộ số. Tuy nhiên trong thực tế, đa số 2 bộ số đó xuất phát từ 1 bộ số (1 bộ số cố định và một bộ số thu được từ các biến đổi của bộ số cố định này).

Đây là một bài toán được dùng nhiều trong phân tích cấu trúc. Thực chất của kỹ thuật tách ghép chính là cách sắp thứ tự và điều chỉnh bộ số theo quá trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm.

Ứng dụng của chúng cho các bài toán tối ưu trong đời sống hàng ngày là khá nhiều.

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số
Cho bộ số gồm 3 số a,b, c thoả mãn a < b < c

Khi đó gọi:

a là min(x,y,z);
c là max(x,y,z); và
b là med(x,y,z), ta có:

max(a,b,c) ≥ med(a,b,c) ≥ min(a,b,c)




Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Cho một Δ ABC bất kỳ. Dưới góc độ bất biến, không kể độ lớn ta có thể khẳng định:
Ba góc A, B, C > 0 và A + B + C = π

Trong tam giác đều ta có: A = B = C = π/3

Như vậy cho một Δ bất kỳ thì Δ này là xa đều hơn Δ đều vì hiệu giữa max và min của tam giác này luôn lớn hơn hoặc bằng không, còn hiệu giưa max và min của tam giác đều bao giờ cũng bằng không.

Do đó trong các bài toán BĐT thường ta đi so sánh giữa các BĐT đã cho với các BĐT của các tam giác đều.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Không mất tính tổng quát có thể coi A là góc lớn nhất, góc C là góc nhỏ nhất, hiển nhiên ta có:
A ≥ π/3 vì max ≥ (A+B+C)/3
C≤ π/3
Thứ tự sắp được của bộ 3 số đó:
A ≥ π/3
A + B ≥ π/3 + π/3
A + B + C = π/3 + π/3 + π/3 = π

Từ so sánh này ta có thể thay các góc A, B, C bằng các biểu thức khác nhau.

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Xét một Δ ABC không nhọn (tù hoặc vuông), A > B > C, ta có:

A ≥ π/2
C ≤ π/4 vì B + C ≤ π/2

Ta có thể thấy ngay rằng:
Trong các tam giác không nhọn thì tam giác vuông cân là tam giác gần đều nhất
Vì vậy nếu ta có 1 BĐT liên quan đến tam giác bất kỳ so sánh với tam giác đều thì ta cũng có BĐT liên quan đến các tam giác không nhọn so sánh với tam giác vuông cân.


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Ứng dụng của BĐT Cauchy là rất nhiều.

Đặc biệt khi liên quan đến tam thức bậc hai, một ứng dụng lớn nhất là tìm max và min của các dạng phân thức.

Dạng phân thức có cấu trúc trặt và gặp nhiều trong các bài toán thi Olympic quốc gia và quốc tế là dạng phân thức mà tử số và mẫu số đều là các đa thức bậc không quá hai.

Cấu trúc đề tìm max và min khi dùng BĐT Cauchy cũng như tam thức bậc hai là cấu trúc có chiều ngược lại với truyền thống các bài toán sử dụng các phép tính vi phân.

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
1.1. 1 Tam thức bậc hai
Ta cã bất đẳng thức cơ bản:


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Gần với bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức dạng sau:


hay
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
Xét tam thức bậc hai:


Khi đó



với
Định lý 1.1. Xét tam thức bậc hai:



i) Nếu thì

ii) Nếu thì Dấu đẳng thức xảy ra


khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG

iii) Nếu thì với




Trong trường hợp này, khi

và khi hoặc


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG

Định lý 2. (Định lý đảo). Điều kiện cần và đủ để tồn tại số sao
cho

là:

và

trong đó: là các nghiệm của xác định theo (1.2).

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG

Định lý 3. Với mọi tam thức bậc hai có nghiệm thực đều tồn tại một

nguyên hàm là đa thức bậc ba, có ba nghiệm đều thực.











Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG

Định lý 4. Tam thức bậc hai có nghiệm (thực)

khi và chỉ khi hệ số có dạng:










Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG







1.1.2 Ph­¬ng ph¸p:
Xét đa thức thuần nhất bậc hai hai biến (xem như tam thức bậc hai đối với )



Khi đó, nếu thì

Vậy khi và thì hiển nhiên


trường hợp riêng khi ta nhận lại được kết quả


hay

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
1.1.3 Áp dụng lý thuyết:

Ví dụ 1. Cho là các số thực sao cho Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức


Ví dụ 2. Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

thức

Ví dụ 3. Cho Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

thức




1.1.4. Tam thức bậc và tam thức bậc
Bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng


Khi có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc hai.
Ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng


sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
Thay vào (1.9), ta nhận được tức là (1.9) có dạng


Đây chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
Bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng


có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ thừa 1 của ), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Mở rộng cho tam thức bậc
bằng cách thay luỹ thừa 2 bởi số và luỹ thừa 1 bởi
Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng



sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
Sử dụng phép đổi biến và ta có thể đưa (1.13) về dạng



So sánh với (1.8), ta thấy ngay cần chọn và Vậy nên


Hay



dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
Định lý 1. Giả sử cho trước và cặp số thỏa mãn điều kiện


Khi đó




Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG

Định lý 2. Tam thức bậc dạng




trong đó và có tính chất sau
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
Hệ quả 3. Tam thức bậc dạng




Trong đó và có tính chất sau

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành Mục 1.1 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.1. TAM THỨC BẬC HAI

BÀI GIẢNG
1.2.1.D¹ng thuËn cña bÊt ®¼ng thøc Cauchy:
Tiếp theo thực hiện ý tưởng của Cauchy (Augustin-Louis Cauchy 1789 – 1857) đối với tổng



Ta nhận được tam thức bậc hai dạng




nên
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

BÀI GIẢNG
Với mọi bộ số ta luôn có bất đẳng thức sau



Dấu đẳng thức trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi bộ số và tỷ lệ với nhau, tức tồn tại cặp số thực không đồng thời bằng 0, sao cho



Bất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (®«i khi cßn ®­îc gäi lµ bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski hoặc bất đẳng thức Cauchy – Schwarz).




1.2.2 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy

Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở

rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số

phức. Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực đã cho như là phần thực của một

số phức

Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

BÀI GIẢNG

Định lý 1. Với mọi bộ số ta luôn có đẳng thức sau



Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

BÀI GIẢNG
Định lý 2. Với mọi bộ số phức ta luôn có đẳng thức sau





Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.






Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

BÀI GIẢNG

1.2.3 Dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy

Hệ quả 1. Với mọi bộ số phức ta luôn có bất đẳng thức sau





Giả sử ta có bộ các cặp số dương sao cho








Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

BÀI GIẢNG
Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì



hay


Từ đây suy ra
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

BÀI GIẢNG

Theo bất đẳng thức Cauchy, thì




Vậy nên



Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành Mục 1.2 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY


BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN

BÀI GIẢNG
Định lý 1.(H. W. Mclaughlin). Với mọi bộ số thực
và ta đều có




Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


và
ứng với mọi

Tương tự, ta có thể mở rộng bất đẳng thức Cauchy cho bốn bộ số


Sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức Cauchy đối với và


ta thu được



Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN

BÀI GIẢNG
Định lý 2. (A. M. Ostrowski). Cho hai dãy không tỷ lệ
và và dãy số thực thỏa mãn điều
kiện


Khi đó
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN

BÀI GIẢNG
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi





Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN

BÀI GIẢNG
Định lý 3. (K. Fan and J. Todd). Với mọi dãy số thực


và thỏa mãn điều kiện ứng với

ta đều có
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN

BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành Mục 1.3 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN

BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
1.4.1. Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm
Từ bất đẳng thức


Ta suy ra với mọi cặp số không âm với tổng bằng 1 cho trước thì tích

đạt giá trị lớn nhất bằng khi Vậy




Tương tự đối với một cặp ta cũng có:



Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Định nghĩa 1. (i) Xét các cặp số không âm với tổng không đổi (để đơn giản, ta chọn ). Ta gọi hiệu


là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số


(ii) Cặp được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp (hay cặp được gọi là xa đều hơn cặp ) nếu







Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Định nghĩa 2. (i) Xét các cặp số dương với tích không đổi (để đơn giản
ta chọn ). Ta gọi hiệu



là độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp số .

(ii) Cặp được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp (hay cặp
được gọi là xa đều hơn cặp ) nếu





Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Định lý 1. Xét các cặp số không âm với tổng không đổi

(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó




Khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Định lý 2. Xét các cặp số không âm với tích không đổi

(để đơn giản, ta chọn ). Khi đó



khi và chỉ khi cặp gần đều hơn cặp






Định lý 3. (H. W. Melaughlin, F. T. Metcalf). Với mọi cặp dãy số dương

và sao cho hoặc

ta đều có




đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0,1].




Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
1.4.2. Kỹ thuật tách và ghép bộ số
Trong những năm gần đây, khá nhiều dạng bất đẳng thức trong các đề kỳ thi Olympic quốc tế, vô địch quốc gia của nhiều nước trên thế giới. Rất nhiều bài toán về bất đẳng thức xuất phát từ các phép biến đổi biểu thức đối xứng theo các kiểu (đặc thù) khác nhau.

Trong mục này chúng ta đưa ra một số dạng bất đẳng thức giải dựa chủ yếu vào kỹ thuật tách, ghép và điều chỉnh bộ hệ số trong bất đẳng thức Cauchy.

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Để minh hoạ và để tính toán đơn giản, ta chủ yếu xét các ví dụ với cặp bộ ba biến. Thực chất của kỹ thuật này cũng chính là cách sắp thứ tự và điều chỉnh bộ số theo quá trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm.
Bài toán 1.13. Cho Chứng minh rằng


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Bài toán 1.14. Cho Chứng minh rằng



Nhận xét 1.3. Bằng phương pháp tương tự, ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau:
Với mọi cặp số dương và bộ số dương với tổng ta đều có



Bài toán 1.15. Cho Chứng minh rằng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Bài toán 1.16 (APMO 1991). Cho hai bộ số dương và
có chung tổng



Chứng minh rằng



Bài toán 1.17. Cho Chứng minh rằng

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Bài toán 1.18 (Japan MO – 2004). Cho Chứng minh rằng



Bài toán 1.19 (MO Romanian 2004). Chứng minh rằng với mọi ta đều có



Bài toán 1. 20 (MO USA). Xét các số dương thỏa mãn các điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Bài toán 1. 21. Chứng minh rằng, với mọi bộ số dương thỏa mãn điều kiện ta đều có




Bài toán 1. 22. Chứng minh rằng với mọi bộ số dương ta đều có




Bài toán 1. 23. Chứng minh rằng với mọi bộ số dương ta đều có
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Bài toán 1. 24. Cho hai bộ số dương và Chứng minh rằng





Bài toán 1. 25. Cho tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
1.4.3. Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số

Kỹ thuật này để phù hợp với đặc thù của bài toán đóng vai trò rất tích cực trong việc định hướng sáng tác bài tập cũng như định hướng cách chứng minh các bất đẳng thức.

Chú ý rằng, sau khi sắp lại thứ tự bộ số, chẳng hạn ta thấy ngay cặp số gần đều hơn cặp

Vì vậy, ứng với mọi ta dễ dàng kiểm chứng hàm số có tính chất



Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
hay


Một cách tổng quát với mỗi bộ số sắp được


và với mọi ta đều có
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
1.4.4. Điều chỉnh và lựa chọn tham số
Đối với một số bất đẳng thức đồng bậc dạng không đối xứng thì dấu đẳng thức trong bất đẳng thức thường xảy ra khi giá trị của các biến tương ứng không bằng nhau.
Kỹ thuật cơ bản nhất giải các bài toán cực trị dạng không đối xứng chính là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều.
Tham số tự do cần thiết thường là các giá trị trung gian được xác định sau theo cách chọn đặc biệt để tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra.
Tham số phụ được đưa vào một cách hợp lí để phương trình xác định chúng có nghiệm.
Bài toán 1.29. Cho số dương Xét bộ số dương thỏa mãn điều kiện


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


Bài toán 1.30. Cho là các số dương. Xét bộ số dương thỏa mãn điều kiện


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG

Nhận xét 1.5. Hai bài toán trên hoàn toàn có thể giải được theo phương pháp tam thức bậc hai thông thường.
Bài toán 1.31 (Thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO – 1994). Xét bộ số thực
thỏa mãn điều kiện



Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Bài toán 1.32. Xét bộ số thỏa mãn điều kiện




trong đó là số dương cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành Mục 1.4 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY

BÀI GIẢNG
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Bất đẳng thức Cauchy
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Ta có đồng nhất thức


Để ý rằng nên ta có


Vì vậy có thể coi bất đẳng thức Cauchy thực chất là bất đẳng thức suy ra từ hằng đẳng thức đáng nhớ.
Khi biểu diễn dưới dạng phức tạp hơn, chẳng hạn

Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG

Xét với




Đồng nhất thức Lagrange




Bài toán 1: Ký hiệu

Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Chứng minh rằng với mọi bộ số ta có





Hệ quả: Từ đồng nhất thức trên ta thấy VP > 0 nên suy ra VT >0. Khi đó chia

cả hai vế cho

nếu thì
Khi đó ta luôn có bất đẳng thức sau
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Các bài tập
ứng dụng tam thức bậc hai
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức



HD giải: Trường hợp thì



có thể tìm được GTLN, GTNN bằng phương pháp tam thức bậc hai
Tìm giá trị của y để phương trình (1) có nghiệm



có nghiệm

*) xảy ra khi
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG

*) phương trình có nghiệm khi và chỉ khi





1) Với nên bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi của tam thức bậc hai (2) >0.
Gọi là nghiệm của phương trình khi đó


Dấu “=“ xảy ra khi
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG

2) Với thì ta không áp dụng được như trường hợp trên, bài toán tìm giá trị LN, NN trở thành tìm GTLN, NN trên một miền.

Ví dụ: Xét các biểu thức đối xứng




Nếu cho thì

Nếu cho thì
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Bài toán 2: Cho là các số thực sao cho


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


Giải: Đặt Khi đó xét



Nếu
Nếu suy ra
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Ta nhận thấy rằng nếu ký hiệu



Ta cần tìm
Nhận xét:
+)
+) Không mất tính tổng quát xem (1) ta có
Khi đó


có nghiệm
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG





Kết hợp với nhận xét ta có




Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Dấu “=“ đạt được khi




Trong đó



Từ (2) ta tìm được
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Bài toán 3: Giả sử các số thực thoả mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



Giải: Ta có



Xét khi chia cả tử và mẫu cho ta thu được



trong đó
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG


Ta có thể xét biểu thức trên là tam thức bậc 2 đối với u nghĩa là:




Theo (1)

khi đó ta có




Gọi là nghiệm dương của (2) ta nhận được
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Bài toán 4. Cho tam thức bậc hai thỏa mãn điều kiện



Tìm giá trị lớn nhất của với
HD giải: Ta có:




hay


Suy ra
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG




Ta lại có





Khi đó

Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Vì nên Do đó






Suy ra Vậy
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Tam thức bậc và
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Xét trường hợp đặc biệt: Với thì


Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi



Bất đẳng thức đang xét là bất đẳng thức chuyển đổi giữa điểm 0 và điểm 2 về điểm giữa trên đoạn này.
Câu hỏi đặt ra là quá trình chuyển đổi đó được thực hiện theo cách nào?
Với cho trước xét
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
thì bất đẳng thức (1) có dạng


Hỏi có xảy ra bất đẳng thức sau hay không?


Nếu (2) xảy ra thì ta thay 0; 1 bằng bất đẳng thức mới thì cho ta quy trình chuyển từ bậc 2 sang bậc bất kỳ gọi là tam thức bậc
Ta còn có

Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Bài toán 1: Cho
Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
HD giải:








là tam thức bậc hai.
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Bài toán 2: Cho
Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
HD giải:
Chia cả hai vế cho ta được



Đặt

Ta có


Không mất tính tổng quát ta xét
Xét hàm số


ta chứng minh rằng với
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Ta có



Đặt


Ta nhận thấy





Mà nên ta chứng minh 1 là điểm cực tiểu của hàm
Hướng dẫn giải bài tập

BÀI GIẢNG
Thật vậy




vì và

Nên nghịch biến trong suy ra điều phải chứng minh