Chương III - Bài tập đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Bài 1: Xét

trên R;

là các tập hợp;
C=5 trên R;

trên R


A, B, C, D, E cài nào là biểu thức toán học? Cài nào không phải?

Phân tích và trả lời
Đây là câu hỏi để củng cố khái niệm biểu thức toán học.
Một biểu thức toán học là cách viết chỉ rõ các phép toán và thứ tự thực hiện các phép toán đó trên các số (thuộc một trường số K) và các chữ gọi là đối số (lấy giá trị trong trường K).
Dựa vào khái niệm trên nhận dạng biểu thức toán học
Ta có:
A, C, D là các biểu thức toán học.
B, E không phải biểu thức toán học. Vì X, Y, Z, A, B là các tập hợp hoặc các mệnh đề logic, không phải là các đối số hoặc trường cơ sở.
Bài 2: Các biểu thức sau đây trên R biểu thức nào là siêu việt, đại số hữu tỉ (nguyên, phân), đại số vô tỉ?



Phân tích và trả lời
Đây là bài toán nhận dạng khái niệm, dựa vào các khái niệm đã biết (khái niệm về biểu thức siêu việt, đại số hữu tỉ (nguyên, phân), đại số vô tỉ) để xét xem các biểu thức đã cho thuộc loại nào?
Chú ý: Để phân loại một biểu thức là đại số hay siêu việt, cần chú ý đến tính chất của phép toán trên các đối số chứ không phải trên các hệ số (là các phần tử của trường cơ sở K).
Ta có:
A là biểu thức siêu việt.
B là biểu thức đại số vô tỉ.
C là biểu thức đại số hữu tỉ phân.
D là biểu thức đại số hữu tỉ nguyên.
Bài 3 Cho các biểu thức trên C:


Hãy tính


Tính







Bài 4: Tìm miền xác định của các biểu thức sau trên R:
f(x) =

Tập xác định:


g(x)=

Tập xác dịnh:



TXĐ:

h(x) =

Tập xác định:













d) k(x) =

Tập xác định:



TXĐ:

e) l(x) =

TXĐ :

Bài 5: Thực hiện các phép nhân đa thức

và


và
;

và
;

và

Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.








Bài 6:Cho


Tìm a, b để f(x)=g(x).h(x)
Có tồn tại a, b để h(x)=(x+1).g(x) không?
Lời giải
a) Ta có:


mà

Nên, ta suy ra

Vậy, không tồn tại a, b để f(x)=g(x).h(x).
b) Ta có:
Cách 1


Ta thấy h(x) là đa thức bậc 3 mà tích

là đa thức bậc 2 nhỏ hơn bậc của đa thức h(x).
Suy ra

Vậy, không tồn tại a, b để h(x)=(x+1)g(x).
Cách 2
Giả sử tồn tại a, b để h(x)=(x+1)g(x) hay h(x)=(x+1)(ax+b) thì h(x) chia hết cho x+1 và được thương có dạng ax+b
Sơ đồ Hoocne

1
0
1
-1

-1
1
-1
2
-3

Ta có đa thức thương là
và dư là r=-3.
Vậy, không tồn tại a, b để h(x)=(x+1)g(x).
Cách 3
Đồng nhất thức, ta có:


Đồng nhất

Vậy, không tồn tại a, b để h(x)=(x+1)g(x).
Bài 7:Đơn giản biểu thức


Lời giải

Bài 8: Chứng minh rằng đa thức


có thể biểu diển dưới dạng bình phương của một tam thức bậc hai.
Lời giải
Giả sử tam thức bậc hai là
. Ta thấy f(x) có hệ số a=1 đối với bậc 4. Vậy m=1 hoặc m=-1.
+) Với