Chương III. §7. Tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp đường tròn
đường tròn ngoại tiếp tứ giác
Tứ giác nội tiếp một đường tròn
1,Định nghĩa
Nếu qua bốn đỉnh của một tứ giác có một đường tròn thì tứ giác đó gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn còn đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác
A
B
C
D
Tứ giác nội tiếp một đường tròn
2, Định lý
a, Thuận Trong một tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 2v
A
B
C
D
Tứ giác nội tiếp một đường tròn
2, Định lý
b, Đảo :Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 2v thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn
A
B
C
D
Tứ giác nội tiếp một đường tròn
2, Định lý
Tứ giác nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 2v
A
B
C
D
Bài 1
Cho 2 đường tròn (O) và (O`) cắt nhau tại A và B. Vẽ một cát tuyến đi qua A và B. Vẽ một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O`) tại D sao cho A nằm giữa C và D. Vẽ một đường thẳng qua B cắt đường tròn (O) tại E và cắt đường tròn (O`) tại F sao cho B nằm giữa E và F. Hai đường thẳng CD và EF không cắt nhau ở bên trong đường tròn . Chứng minh rằng CE//DF
Bài 1
CE//DF

C1 + D1 =1800
D1+B2=1800

C1=B2
Mà B1+B2=1800

C1+B1=1800

tứ giác BEAC nội tiếp

A
B
C
D
E
F
1
1
2
1
Bài 1
Tứ giác ADFB nội tiếp =>D1+B2=1800(tính chất của tứ giác nội tiếp)
Mà B2+B1=180(Hai góc kề bù)
=>D1=B1
Tứ giác ABEC nội tiếp =>C1+B1 =1800(tính chất của tứ giác nội tiếp)
=>C1+D1=1800 mà hai góc ở vị trí trong cùng phía
=>EC//DF (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
A
B
C
D
E
F
1
1
2
1
Bài 1
D1=B2(góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
Mà B2+B1=180(Hai góc kề bù)
=>D1+B1=1800
Tứ giác ABEC nội tiếp =>C1+B1 =1800(tính chất của tứ giác nội tiếp)
=>C1=D1=>
EC//DF
A
B
C
F
E
D
1
1
2
1
Bài 2
Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây cung CD. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với CD, cắt dây AB tại I. Các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng
a, Các tứ giác AECI và BFCI nội tiếp được
b, Tam giác IEF và tam giác CAB đồng dạng và tam giác IEF vuông
Bài 2
Xét tứ giác ECIA
có CI ?EF (gt)
=>ECI=900
có EAI=900(vì AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A)
Do đó EAI+ECI=1800
=>tứ giác ECIA nội tiếp
C
A
B
D
E
F
I
1
1
Bài 2
Xét ? IEF và ? CAB
có FEI=CAB (góc nội tiếp cùng chắn cung CI của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECIA)
C
A
B
D
E
F
I
1
1
Bài 2
Tứ giác CFBI nội tiếp nên F1=B1(góc nội tiếp cùng chắn cung CI)
Tương tự ta có E1=A1
=>? IEF ~ ? CAB (g,g)
=>ACB=EIF
mà ACB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) =>EIF=900
hay tam giác EIF vuông tại F
C
A
B
D
E
F
I
1
1
Các cách chứng minh
tứ giác nội tiếp đường tròn
1, Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm
2. Chứng minh rằng tổng hai góc đối diện bằng 2v
3, Dùng quỹ tích cung chứa góc. Tứ giác ABCD có hai đỉnh C và D nằm cùng một phía đối với đường thẳng AB , sao cho góc ACB=ADB thì tứ giác ABCD nội tiếp
Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội
tiếp khi và chỉ khi
góc A= góc C1

A
B
C
D
1
Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
tứ giác ABCD nội tiếp thì A+ DCB=1800
mà DCB+
C1=1800
(hai góc kề bù)
=>A=C1

A
B
C
D
1
Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
Nếu A=C1
mà DCB+
C1=1800
(hai góc kề bù)
=> A+ DCB=1800
=>tứ giác ABCD nội tiếp
A
B
C
D
1
Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
Nếu một tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối diện với góc tại đỉnh đó thì tứ giác nội tiếp
A
B
C
D
1
2
Bài 1
Cho đường tròn (O) và một điểm M không thuộc đường tròn . Từ M kẻ 2 cát tuyến MAB và MCD với đường tròn . Chứng minh rằng MA.MB=MC.MD
Bài 1
A
B
M
C
D
2
1
Bài 1
Xét hai tam giác MAC và MDB
có góc M chung tứ giác ABDC nội tiếp nên
D+A1=1800 mà A1+A2=1800=>D=A2
=>? MAC ~ ? MDB (g.g) =>MA:MD=MC:MB =>MA.MB=MC.MD
M
A
B
C
D
1
2
Bài 1
Tương tự ta có
ND.NB=NC.NA

M
A
B
C
D
1
2
N
Bài 1
MA.MB=MC.MD
Khi A trùng với B =>MA=MB
ta có MA2=MC.MD
M
A
B
C
D
Khi A trùng với B thì cát tuyến MAB thành tiếp tuyến MA ta có
MA2=MC.MD
Bài 1
A
B
M
C
D
1
1
Bài 2
Cho 4 điểm A, B, C, D và một điểm M là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng nếu MA.MB=MC.MD thì tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn
MA.MB=MC.MD=>MA:MD=MC:MB(1)
Xét hai tam giác MAC và MDB
có góc M chung và từ (1) nên ? MAC ~ ? MDB
=>D=A2 mà A1+A2=1800
=>D+A1=1800
=> tứ giác ABDC nội tiếp
M
A
B
C
D
1
2
từ MA.MB=MC.MD =>MA:MC=MD:MB
Xét? MAC và ? MDB có góc M chung có MA:MC=MD:MB=>
? MAC ~ ? MDB (c.g.c)=>D1=A1 hai điểm A và D cùng nhìn BC dưới 2 góc bằng nhau nên 4 điểm ABCD nội tiếp
A
B
C
D
M
1
1
từ MA.MB=MC.MD
=>MA:MD=MC:MB
Xét? MAC và ? MDB có góc M1=M2 (đối đỉnh)
có MA:MD=MC:MB=>
MAC ~ ? MDB (c.g.c)
=>D1=A1
hai điểm C và D cùng nhìn BC dưới 2 góc bằng nhau nên 4 điểm nằm trên đường tròn hay tứ giác ADBC nội tiếp
A
C
B
D
M
2
1
1
1
Kết luận
Cho 4 điểm A, B, C, D và một điểm M là giao điểm của AB và CD. MA.MB=MC.MD khi và chỉ khi ABDC nội tiếp đường tròn
Kết luận
Cho 4 điểm A, B, C, D và một điểm M là giao điểm của AB và CD.
MA.MB=MC.MD
? ABDC nội tiếp đường tròn
Bài tập trắc nghiệm :các kết luận sau đúng hay sai?
Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn nếu có một trong các điều kiện sau
a, BAD + BCD =1800
b, ABD= ACD =400
d, ABC =ADC =900
c, ABC =ADC =1000
Đúng
Đúng
sai
Đúng
ABCD là hình thoi
Sai
e, ABCD là hình chữ nhật
f, ABCD là hình bình hành
h, ABCD là hình vuông
g, ABCD là hình thang cân
Đúng
sai
đúng
Đúng
Tứ giác nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 1800
Tứ giác nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi hai đỉnh kề nhau của tứ giác cùng một cạnh dưới góc không đổi
Qua điểm Q thuộc dây cung chung AB của hai đường tròn cắt nhau vẽ dây PM và LN lần lượt của đường tròn thứ nhất và thứ hai. Chứng minh rằng tứ giác PNML nội tiếp
Bài 3
B
A
P
M
L
Bài 3
N
Q
Ta có Q là giao điểm của hai dây cung PM và AB của đường tròn (O) nên QM.QP=QA.QB
Q là giao điểm của hai dây cung LN và AB của đường tròn (O`) nên
QL.QN=QA.QB
=>QM.QP=QL.QN
=>tứ giác PLMN nội tiếp
B
A
P
M
L
Bài 3
N
Q
Bài 4
Cho hai đường tròn(O) và (O`) cắt nhau tại hai điểm A và B . Gọi M là một điểm tuỳ ý trên đường thẳng AB (ngoài đoạn AB)
a, Qua M lần lượt dựng các tiếp tuyến MT và MT` với (O) và (O`). Chứng minh rằng MT=MT`
b, Qua M dựng hai cát tuyến tuỳ ý MCD và MC`D` với (O) và (O`). Chứng minh rằng tứ giác CDD`C` nội tiếp đường tròn
Lời giải
MT là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến của đường tròn (O) nên
MT2=MA.MB (1)
MT` là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến của đường tròn (O`) nên
MT`2=MA.MB (2)
=>MT2=MT`2
=>MT=MT`

O’
A
B
T’
O
M
T
Lời giải
MC.MD=MA.MB
MC`.MD`=MA.MB
=>MC.MD=MC`.MD`=>
MC:MD`=MC`:MD
và có góc M chung nên ?MC`D ~?MCD` (c.g.c)
=>D1=D`1 mà cùng chắn đoạn CC` nên 4 điểm C, C`, D , D` cùng thuộc một đường tròn


O’
A
D’
B
T’
O
D
C’
C
M
1
1
T
Bài 4
Trong đường tròn O lấy điểm I. Vẽ qua I hai dây AB và CD
a, Tính CD biết AI=12 cm, IB=18 cm, CI:ID=3:8
b, Tính CI và ID biết AI=12 cm IB=16 cm và CD=32cm
Lời giải
Ta có IA.IB=IC.ID
12.18=IC.ID
mà IC= 3/8.ID nên
=>216=3/8.ID.ID=>
3/8.ID2=216
=>ID2=576=> ID=24 =>IC=3/8.24=9 vậy CD=IC+ID=33cm
O
A
C
B
D
I
Lời giải
CD=IC+ID=32cm
=>CI=32-ID mà IA.IB=IC.ID
=>12.16=(32-ID).ID
=>ID2-32ID+192=0
=>CI=8 và ID=24
hoặc CI=24 và ID=8
O
A
C
B
D
I
Bài 5
Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH cố định. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng
a, Tứ giác BCFE nội tiếp đường tròn
b, Đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCFE đi qua 2 điểm cố định
Lời giải
Ta có tứ giác AEFH là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn =>AFH=AHE (vì chắn cung AE) mà AHE +H2=900 và B+H2=900 =>B=AFH
vậy tứ giác có tổng hai góc đối diện nhau bằng 2v nên tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn
B
A
C
H
E
F
2
Lời giải
Gọi P và Q là giao điểm của AH với đường tròn, O là giao điểm của AH và EF =>OE=OA=OH
ta có OE.OF=OP.OQ=(OA-AP)(AQ-OA)
=OH2=AH2/4
ta lại có AF.AC=AP.AQ=AH2(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
=>AP,AQ là những đoạn thẳng coa độ dài không đổi Vậy P và Q là những điểm cố định

B
A
C
H
E
F
P
Q
O
Bài 5
Chứng minh rằng điểm đối xứng của trực tâm tam giác qua các cạnh của tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó
Bài 6
Cho đường tròn đường kính AB, đường thẳng d vuông góc với AB tại H. Từ điểm M thuộc d kẻ MA, MB cắt đường tròn đường kính AB tại P và Q. Gọi N là giao điểm của d và PB
a, Chứng minh rằng tứ giác MPNQ nội tiếp
b, Gọi B1 là điểm đối xứng với B qua d. Chứng minh rằng tứ giác AB1MN nội tiếp
MH?AB (gt)
ta có BPA=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=>BP?AM
Do đó MH và BP là hai đường cao của tam giác AMB
mà MH cắt PB =N nên N là trực tâm của tam giác AMB
Vì Q thuộc (O) nên AQB=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )nên AQ là đường cao của tam giác ABM do đó N thuộc AQ
A
B
M
H
Q
1
B1
P
N
ta có NQM=900(vì AQB=900)
NPM=900(kề bù với APB)
=>NQM+NPM=900+900=1800
Vậy tứ giác MPNQ nội tiếp

A
B
M
H
Q
1
B1
P
N
tứ giác AB1NM nội tiếp
AMN+AB1N=1800
mà AB1N+NB1H=1800

AMN=NB1H
Mà NB1H=NBH

AMH=NBH
AMH+BAC=900
NBH+BAC=900

A
B
M
H
Q
1
B1
P
N
APB = 1v và AQB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=>N là trực tâm tam giác => AN cũng là đường cao nên N thuộc AQ
ta có AMH=ABP ( cùng phụ với góc A)
mà ABP=NB1H (tính chất đối xứng)
=>AMH=NB1H
mà NB1H + AB1N=1800(hai góc kề bù)
=>AB1N+AMN=1800
Do đó tứ giác AB1NM nội tiếp

A
B
M
H
Q
1
B1
P
N
Bài 7
Cho tam giác ABC các đường cao AA1, BB1, CC1 . O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
B1C1 vuông góc với OA;
A1C1 vuông góc với OB;
OA vuông góc với C1B1
Cung AM=cung AN
Cung AM+MB=cung AN+MB

góc ACB = góc AC1N
mà AC1N+BC1B1=1800

BC1B1+ACB=1800
Tứ giác BC1B1C nội tiếp

BC1C=BB1C =900
A
C
B
A1
O
1
B1
C1
H
M
N
Kéo dài B1C1 cắt đường tròn tại M và N
Do tứ giác BC1B1C nội tiếp nên AC1 N = ACB mà
ACB=1/2(sđAM+sđMB)
AC1N=1/2(sđAN+sđMB)
=>cung AM=cungAN
=>AM=AN mà OM=ON nên OA là trung trực của MN nên OA vuông góc với MN

A
C
B
A1
O
1
B1
C1
H
M
N
Qua A kẻ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) ta có xAB=ACB (1)(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)Do tứ giác BC1B1C nội tiếp nên AC1B1 = ACB (2)
Từ (1) và (2) ta có xAB=AC1B1 mà chúng ở vị trí so le trong nên xy//B1C1
vì OA? xy nên B1C1? OA


A
C
B
A1
O
1
B1
C1
H
M
N
x
y
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua đỉnh thì vuông góc với đường thẳng nối chân hai đường cao của tam giác đó
A
C
B
A1
O
1
B1
C1
H
M
N
x
y
Bài 8
Cho tam giác ABC. H là chân đường cao hạ từ A trên BC, E, F là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC
1, Chứng minh rằng OA vuông góc với EF (O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
2. Cho AH=R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Chứng minh rằng O; E; F thẳng hàng
EF?OA

Ax//EF
A1=E1 mà A1=C
E1=C
mà C+HAC= 900
H1 +HAC=900
=>H1=C
H1=E1
Tứ giác AEHF nội tiếp
A
C
B
O
1
F
E
H
x
N
1
1
M
E=F=900 nên tứ giác AEHF nội tiếp =>E1=H1 (vì cùng chắn cung AF)
H1=C (cùng phụ với góc HAC)=>E1=C mà C = A1 (cùng chắn cung AB)
nên E1=A1 mà chúng ở vị trí so le trong nên Ax//EF
mà Ax?OA nên EF?OA
A
C
B
O
1
F
E
H
x
N
1
1
Kéo dài EF cắt (O) tại M và N ta có H1 = E1=C
mà E1=1/2 (sđAN+sđBM)
C=1/2(sđAM+sđMB)
=>cung AN= cung AM =>AM=AN
mà OM=ON
=>OA là trung trực của MN
=>OA?MN nên EF?OA
A
C
B
O
1
F
E
H
N
1
M
Gọi O1 là giao điểm của AO với EF và AOgiao với đường tròn tại D
?AHC vuông có AH2=AF.AC
?AO1F ~ ?ACD(g.g)
=>AF:AD=AO1:AC=>AF=O1A.AD:
AC =>AH2=AO1.AD:AC.AC
AH2 =AO1AD?2R2=AO1 .AD
mà AD=2R=>AO1=R =>O1 trùng với O hay 3 điểm E; O; F thẳng hàng
A
C
B
O
1
F
E
H
x
N
1
1
D
O1
Bài 9
Điều kiện cần và đủ để tứ giác ABMC nội tiếp là hình chiếu vuông góc của M trên 3 cạnh AB, BC, CA thẳng hàng (Định lí Sim Sơn)
Bài 9
Phần thuận Tứ giác ABMC nội tiếp thì hình chiếu vuông góc của M trên 3 cạnh AB, BC, CA thẳng hàng
Bài 9
Phần đảo Tứ giác ABMC có hình chiếu vuông góc của M trên 3 cạnh AB, BC, CA thẳng hàng thì tứ giác ABMC nội tiếp
A
C
B
2
E
D
F
1
M
1
2
D, F , E thẳng hàng

F2=F1
mà F2=M1
F1=M2
M1=M2
mà M1+MBD=900
M2+MCE=900
MCE=MBD
mà MBD+ABM=1800
MCE+ABM=1800
Tứ giác ABMC nội tiếp
A
C
B
2
E
D
F
1
M
1
2
D, F , E thẳng hàng

F2=F1
mà F2=M1
F1=M2
M1=M2
mà M1+BME=DME
M2+BME=BMC
DME=BMC
mà DME+A=1800
BMC+A=1800
Tứ giác ABMC nội tiếp
A
C
B
2
E
D
F
1
M
1
2
M thuộc đường tròn (ABC)? D, E, F thẳng hàng
M thuộc đường tròn (ABC) nên BMC+A=1800 Tứ giác DMEA nội tiếp nên DME+A= 1800 => BMC=DME => M1=M2 ta có BDFM nội tiếp nên M1=F2 và CEFM nội tiếp nên M2=F1 =>F1=F2 do đó D;F;E thẳng hàng
A
C
B
2
E
D
F
1
M
1
2
M thuộc đường tròn (ABC)? D, E, F thẳng hàng
2, D;F;E thẳng hàng =>F1=F2 mà => F1=M2 và M1=F2 =>M1 =M2=>BMC=DME ta có ADME nội tiếp nên DME+A=1800 nên BMC+A =1800
Vậy tứ giác ABMC nội tiếp
A
C
B
2
E
D
F
1
M
1
2
Đặc biệt
Khi M trùng với C thì E trùng với C ; F trùng với C nên D, F, E vẫn thẳng hàng
A
C
B
E
D
F
M
Bài 6
Cho 2 đường tròn (O) và (O`) cắt nhau tại A và B. Trên đường tròn (O`) lấy điểm M. Các đường thẳng MA, MB cắt đường tròn (O) tại C và D. từ M vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O`). Chứng minh rằng xy//CD
Bài 3
Tứ giác ABCD nội tiếp =>C1 = B1(góc nội tiếp cùng chắn cung AD)
Mà M1 =B1( góc nội tiếp và góc tạo bơỉ một tia tiếp tuyến và một dây cung cùng chắn một cung AM của đường tròn (O`))
=>C1=M1 Hai góc ở vị trí đồng vị =>DC//xy
A
B
D
C
x
y
1
1
1
M
Bài 4
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn. Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D). Các tia AC và AD lần lượt cắt đường tròn tại E và F. Hai dâyAE và BF cắt nhau tại M, hai tia AF và BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng
a, MN//Bx
b, Tứ giác CDFE nội tiếp được
Bài 3
AEB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) =>AE?BN hay AE là đường cao của tam giác ANB tương tự ta có BF là đường cao của tam giác ANB mà AE và BF cắt nhau tại M (gt) nên M là trực tâm của tam giác ANB => MN?AB
A
E
D
C
N
M
F
B
x
Bài 3
Ta có D+B1=900 (vì F=900) và B1+B2=900
=>B2=D
ta lại có B2=E1(góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
=>D=E1
vì E1+FEC =1800 (hai góc kề bù) nên D+FEC =1800 => tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn
A
E
D
C
N
M
F
B
x
1
2
1
Bài 3
D=1/2(sđAB-sđFB) (góc có đỉnh ở ngoài đường tròn )
=>D=1/2 sđAF
E1(góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
=>D=E1
vì E1+FEC =1800 (hai góc kề bù) nên D+FEC =1800 => tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn
A
E
D
C
N
M
F
B
x
1
2
1
Bài 5
Cho tam giác ABC, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC
a, Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn đó
b, Đường thẳng DH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là I . Chứng minh rằng 5 điểm A; I; F; H; E cùng nằm trên một đường tròn
Các bài toán áp dụng
A, Chứng minh các đường thẳng đồng quy, nhiều điểm thẳng hàng
Bài 1
Cho tam giác ABC.Về phía ngoài của tam giác dựng các tam giác đều ABD, ACE, BCF. Chứng minh rằng 3 đường thẳng AF, BE, CD đồng quy
Bài toán
Gọi O là giao điểm của BE và CD ta có ?BAE=?DAC (cgc)=>ADO=ABO nên tứ giác ADBO nội tiếp =>AOB=1200 tương tự BOC=1200 =>BOCF nội tiếp=>BOF=BCF=600=>AOF=1800 hay A,O,F thẳng hàng hay AF ; AE và CD đồng quy
A
B
C
D
E
F
O
Các bài toán áp dụng
B, Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau , góc bằng nhau
Bài 1
Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Lấy D thuộc cạnh CA và E thuộc cạnh CB sao cho CD=CE. Qua D vẽ các đường vuông góc với AE cắt AB theo thứ tự tại K và L. Chứng minh rằng KL=LB