Chương III. §7. Tứ giác nội tiếp

Báo cáo chuyên đề cụm
Các bài toán về tứ giác nội tiếp là một dạng toán tổng hợp liên quan nhiều các KT hình lớp 9. Nó thể hiện mối quan hệ giữa góc và đường tròn, các điểm thuộc hay không thộc đường tròn. Nó liên quan đến điểm cố định, điểm thay đổi và các điểm có tính chất đặc biệt (cung chứa góc, điểm cố định).
Đặt vấn đề :
Các đa giác nội tiếp đường tròn có tính chất đặc biệt. Chính vì vậy : các kiến thức và bài tập về phần này rất đa dạng và phong phú, nó là một trong các kiến thức trọng tâm của ctr Hình học lớp 9.

Hơn nữa, từ các đ/n tính chất của tứ giác nội tiếp ta có thể giải quyết các bài toán hình học khác một cách đơn giản. Từ góc nhìn này ta xây dựng được nhiều bài toán có tính chất tổng quát nhờ tính chất "động" của các điểm trên đường tròn.
Đặt vấn đề :
Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn. Đường tròn đó gọi là ngoại tiếp tứ giác.
Một số kiến thức cơ bản

2.1/ Tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối bằng 1800.
2.2/ TgABCD nội tiếp (O), AC cắt BD tại I ? IA.IC = IB. ID
2.3/ TgABCD nội tiếp (O), có AB cắt CD tại J?JA.JB=JD.JC
* Hệ quả : Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong đối diện với đỉnh đó của tứ giác ấy.
1/ Định nghĩa :
2/ Tính chất :
3.1/ Dựa đ/n :
Một số kiến thức cơ bản
3/ Dấu hiệu nhận biết :
+ C/m 4 đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn .
+ C/m 4 đỉnh của tứ giác cách đều một điểm cho trước.
+ C/m 1 đỉnh của tứ giác thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.
3.1/ Dựa tính chất :
Một số kiến thức cơ bản
3/ Dấu hiệu nhận biết :
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 thì nội tiếp.
+ Tg ABCD có AC cắt BD tại I & IA.IC = IB. ID thì nội tiếp.
+ Tg ABCD có AB cắt CD tại J và JA. JB =JD . JC thì nội tiếp
+ Tg có hai đỉnh kề cùng nhìn xuống cạnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp .
Hq: Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác bằng góc trong đối diện với đỉnh đó của tứ giác ấy thì nội tiếp.
Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm. Dựng hình bình hành BHCD.
a/ C/minh : D nằm (O) ngoại tiếp tam giác ABC.
Từ đó suy ra : A, O, D thẳng hàng .
b/ Gọi H1, H2, H3 lần lượt là điểm đối xứng của H qua BC, AC, AB. Chứng minh : các điểm H1, H2, H3 cùng nằm trên một đường tròn.
c/ So sánh các bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BHC, AHB, CHA
Bài tập
Bài số 1:
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng với H qua AB và AC, I và K lần lượt là giao điểm của EF với AC và AB.
a/ Chứng minh các điểm A,E,B, H, I cùng nằm trên một đường tròn và các điểm A,F,C, H, K cùng nằm trên một đường tròn .
b/ AH cắt BI tại J. Chứng minh J vừa là trực tâm của tam giác ABC đồng thời cách đều các cạnh của tam giác HIK .
Bài tập
Bài số 2:
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M là điểm thuộc (O) và H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến các cạnh BC, AC, AB.
Chứng minh : H, I, K thẳng hàng .
Bài tập
Bài số 3:
Mở rộng 1: Vẽ tiếp tuyến Ax . Kẻ MN vuông góc Với Ax tại N. Chứng minh : MH.MI = MK. MN .
Mở rộng 2 : Kẻ đường kính MP, P thuộc (O), gọi H`, K` lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ P đến AB , BC . Chứng minh : H`K` vuông góc với HK
H`
P
K`
P
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). CMR : AC.BD = AB.DC + AD.BC.
Bài tập
Bài số 4:
Mở rộng :
CMR tổng khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn đến các cạnh của tam giác bằng tổng các bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ấy (Hình 2)
Hình 2
HAPPY NEW YEAR
No more champagne
And the fireworks are through
Here we are, me and you
Feeling lost and feeling blue
It`s the end of the party
And the morning seems so grey
So unlike yesterday
Now`s the time for us to say...

Happy new year
Happy new year
May we all have a vision now and then
Of a world where every neighbour is a friend
Happy new year
Happy new year
May we all have our hopes, our will to try
If we don`t we might as well lay down and die
You and I

Sometimes I see
How the brave new world arrives
And I see how it thrives
In the ashes of our lives
Oh yes, man is a fool
And he thinks he`ll be okay
Dragging on, feet of clay
Never knowing he`s astray
Keeps on going anyway...

Happy new year
Happy new year
May we all have a vision now and then
Of a world where every neighbour is a friend
Happy new year
Happy new year
May we all have our hopes, our will to try
If we don`t we might as well lay down and die
You and I
Seems to me now
That the dreams we had before
Are all dead, nothing more
Than confetti on the floor
It`s the end of a decade
In another ten years time
Who can say what we`ll find
What lies waiting down the line
In the end of eighty-nine...

Happy new year
Happy new year
May we all have a vision now and then
Of a world where every neighbour is a friend
Happy new year
Happy new year
May we all have our hopes, our will to try
If we don`t we might as well lay down and die
You and I