Chương III. §6. Cung chứa góc

hình học 9
Giáo viên: Nguyễn Thị Tuyết Hạnh
Cung chứa góc
a/ Bài toán
Cho đoạn thẳng AB và góc ? (00< ? <1800). Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn ?AMB = ? (Hay: Tìm quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc ?).
?1:
Cho đoạn thẳng CD
a/ Vẽ 3 điểm N1, N2, N3 sao cho ?CN1D = ?CN2D = ?CN3D = 900.

b/ Chứng minh rằng các điểm N1, N2, N3 nằm trên đường tròn đường kính CD.
∆CN1D; ∆CN2D; ∆CN3D lµ c¸c tam gi¸c vu«ng cã chung c¹nh huyÒn CD.
N1O = N2O = N3O = CD/2
(Theo tÝnh chÊt tam gi¸c vu«ng)
=>N1, N2, N3 cïng n»m trªn mét ®­êng trßn (O; CD/2) hay ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD.
C
D
N1
N2
N3
Chứng minh
O
?2
Vẽ một góc trên bìa cứng (chẳng hạn góc 750; cắt ra ta được một mẫu hình như phần gạch chéo ở hình 39). Đóng hai chiếc đinh A, B cách nhau 3cm trên một tấm gỗ phẳng.
Dịch chuyển tấm bìa trong khe hở sao cho hai cạnh của góc luôn dính sát vào hai chiếc đinh A, B. Đánh dấu các vị trí M1, M2, M3 . M10 của đỉnh góc (?AM1B = ?AM2B = .. =?AM10B = 750). Qua thực hành hãy dự đoán quỹ đạo chuyển động của điểm M.
A
M1
M2
M4
M3
B
M10
M6
Ta xét điểm M thuộc một nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB.
Giả sử M là điểm thoả mãn ?AMB =?
Vẽ cung AmB đi qua 3 điểm A, M, B ta chứng minh tâm O của đường tròn chứa cung đó là một điểm cố định (không phụ thuộc M).
Thật vậy trong nữa mặt phẳng bờ AB không chứa M kẻ tia tiếp tuyến của đường tròn đi qua 3 điểm A, M, B thì góc tạo bởi Ax và AB bằng ?, do đó tia Ax cố định. Tâm O phải nằm trên đường thẳng Ay?Ax tại A.
Mặt khác, O phải nằm trên đường trung trực d của đoạn AB. Từ đó giao điểm O của d và Ay là điểm cố định không phụ thuộc M (Vì 00< ?<1800 nên ay không vuông góc với ab và do đó luôn cắt d tại đúng một điểm)
Vậy M thuộc cung tròn AmB cố định.
A
B
M
y
m
H
O
x

A
B
M
m
O
y
x
Chứng minh



Phần thuận

Lấy M` là một điểm thuộc cung AmB, ta phải chứng minh ?AM`B = ?.
Thật vậy, vì ?AM`B là góc nội tiếp, ?xAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và day cung, hai góc này cùng chắn cung AnB nên ?AM`B = ?xAB = ?
A
B
m
M’
n
O

M
m
B
m’
M’
A
O
O’
Hình 42
Hình 41
x
Phần đảo
Kết luận
Với đoạn thẳng AB và góc ? (00< ? < 1800) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn ?AMB = ? là hai cung chứa góc ? dựng trên đoạn AB.
Chú ý:
Hai cung chứa góc ? nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB.
Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
Khi ? = 900 thì hai cung AmB và Am`B là hai nữa đường tròn đường kính AB.
Như vậy ta có: Quỹ tích của các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
A
B
M
M’
O
●
m
B
m’
M’
A
O
O’
Hình 42
M
Trong hình 41 cung AmB là cung chứa góc ? thì cung AnB là cung chứa góc 1800- ?
A
B
m
M’
n
O

Hình 41
b/ Cách vẽ cung chứa góc ?
m
d
y
A
B
m
O’
O
H
- Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB
- Vẽ tia Ax tạo với AB góc ?
- Vẽ tia Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.
- Vẽ cung AmB tâm O bán kính OA sao cho cung này nằm ở nữa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
- Vẽ cung Am`B đối xứng với cung AmB qua AB.

x
2/ Cách giải bài toán quỹ tích
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều cótính chất T.
Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.
Quỹ tích các điểm M thoả mãn ?AMB = ? là gì?
Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là gì?

Hãy nêu cách vẽ cung chứa góc ? .

Muốn giải bài toán quỹ tích ta làm thế nào.
Hướng dẫn về nhà
Học bài nắm vững quỹ tích cung chứa góc, cách vẽ cung chứa góc ? , cách giải bài toán quỹ tích.
Làm bài tập 44, 45, 46, 47, 48 (T86 SGK)
Ôn tập cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp, các bước của bài toán dựng hình.