Chương III. §6. Cung chứa góc

I. Bài toán quỹ tích “cung chứa góc”:
1) Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc  ( 00 <  <1800) Tìm quỹ tích ( tập hợp ) các điểm M thỏa mãn =  ( Ta cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới góc ).
a) Cho đoạn thẳng CD.
- vẽ 3 điểm N1 ; N2 ; N3 sao cho gãc CN1D = gãc CN2D = gãc CN3D = 900
C
N3
N2
N1
D
.O
.
b) Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm N1, N2;N3 cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD
C
N3
N2
N1
D
.O
.
Tam giác CN1D ; CN2D ; CN3D có : CD chung ( c. huyền) ; OC = OD = R
Nên ON1 = ON2 = ON3 = CD/2
Vậy : N1 ; N2 ; N3 cùng thuộc ( O ; CD/2 )
I. Bài toán quỹ tích “cung chứa góc”:
A
M
O
B
x
d
d’
Chứng minh:
a)Phần thuận: Giả sử M là điểm thoả mãn
-Vẽ đường tròn tâm O đi qua 3 điểm A, M, B. Xét cung AmB.
Đường tròn này cố định khi M thay đổi vì:
Ta có O cách đều A, B nên O nằm trên trung trực d của AB và d cố định
-Vẽ tia tiếp tuyến Ax Ax cố định
O thuộc đường thẳng d` vuông góc với Ax tại A nên d` cố định.
O cô định cung AmB cố định
m
( Vì góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, và góc nội tiếp cùng chắn cung AnB )
Lấy M’  , ta cần chứng minh
b) Phần đảo:
*)Trên nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng chứa điểm M đang xét còn có cung Am`B đối xứng với cung AmB qua AB cũng có tính chất như cung AmB.
Ta có
*)Mỗi cung trên được gọi là một cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng AB, tức là cung mà với mọi điểm M thuộc cung đó, ta đều có góc .
Với đoạn thẳng AB và góc  ( 00 <  <1800 ) cho trước thì quỹ tích các điểm m thỏa mãn là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn ab.
c) Kết luận:
Chú ý:
* Hai cung chứa góc nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB . * Hai điểm A, B cũng thuộc quỹ tích.
*Khi  = 900 thì hai cung AmB và Am’B là hai nửa đường tròn đường kính AB. Khi đó:
* Cung AmB là cung chứa góc  thì cung AnB là cung chứa góc 1800 -  .
“Quỹ tích các điểm nhìn đoạn AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB ”
n
2) Cách vẽ cung chứa góc :
Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
- Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.
- Vẽ tia Ax tạo với AB góc .
2) Cách giải bài toán quỹ tích
*Phần thuận : mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H
*Phần đảo : Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T
* Kết luận : Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H
III. Luyện tập:
Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của 2 đường chéo trong các hình thoi đó
.I
Giải
Vì ABCD là hình thoi
(t/c 2 đường chéo)
Mà AB cố định
đường kính AB.
*)Phần thuận:
*) Phần đảo:
Lấy O` bất kì (I)
. O`
C`
D`
Trên AO` lấy C` sao cho AO` = O`C`.
Trên BO` lấy D` sao cho BO` = O`D`.
Bài 45 tr86
Ta có
(Vì O` thuộc (I) đ.kính AB)=> ABC`D` là hình thoi.
Nếu O` trùng A, B thì không tồn tại hình thoi.
Vậy quỹ tích.
- Nắm vững quỹ tích cung chứa góc, cách vẽ cung chứa góc , ñoïc phaàn cách giải bài toán quỹ tích.
- Làm bài tập: 44, 46, 47, 48 / sgk / trang 86 – 87.
- Ôn tập cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp, các bước của bài toán dựng hình.