Chương III. §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học

Chương III
Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Biên soạn :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình sách giáo khoa mới của bộ GD – ĐT 2008
click
(Bài này ở chế độ : on click nên chủ động – xử lý thời gian cho phù hợp)
Bài 3
I - TÍNH DiỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Tính diện tích hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = - 2x - 1 , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1 , x = 5 . So sánh với kết quả diện tích thang vuông trong bài 2
click
Giải :
Vẽ hình biễu diễn
O
x
y
1
5
- 3
-1
y = - 2x - 1
- 11
Tính diện tích S của hình thang vuông
S
(đvdt)
So với kết quả trong bài 2 nó giống nhau .
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành :
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm trên đoạn [a ; b] .
O
x
y
a
b
A
B
Được biết cách tính diện tích hình thang cong y = f(x) ; trục hoành và x = a , x = b
Trường hợp f (x) âm trên đoạn [a ; b] Thì - f(x) > 0
và diện tích hình thang cong aABb bằng diện tích hình thang cong
B’
A’
aA’B’b
là hình đối xứng của
hình thang đã cho qua trục hoành . Do đó :
S
Trường hợp tổng quát :
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( hình vẽ bên)
O
x
y
a
b
y = f(x)
Được tính theo công thức :
click
Ví dụ 1 :
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = - 1 , x = 2
Giải :
O
x
y
-1
1
2
Ta có x 3 < 0 trên đoạn [- 1 ; 0]
y = x3
x 3 ≥ 0 trên đoạn [ 0 ; 2 ]
Áp dụng công thức có :
click
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong :
Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường x = a ; x = b .
O
x
y
a
b
y = f1(x)
y = f2(x)
D
Xét trường hợp f1(x) ≥ f2(x) với mọi x  [a ; b]
Gọi S1 , S2 là diện tích hai hình thang cong giới hạn bởi trục hoành , x = a , x = b và các đường cong y = f1(x) , y = f2(x) tương ứng .
Khi đó diện tích D sẽ là :
trường hợp tổng quát và có
Chú ý :
Khi áp dụng công thức (4) , cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân . Ta phải giải phương trình : f1(x) – f2(x) trên đoạn [a ; b] . Giả sử có 2 nghiệm c < d . Khi đó f1(x) – f2(x) không đổi dấu trên các đoạn [a ; c] ; [c ; d] ; [d ; b]. Ví dụ trên [a ; c] thì :
click
Ví dụ 2 :
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cos x ; y = sin x , và hai đường thẳng x = 0 , x =  .
Giải :
O
x
y
1
-1
y = sin x
y = cos x
Đặt f1 (x) = cos x ; f2 (x) = sin x
Ta có : f1 (x) - f2 (x) = cosx - sin x = 0
Vậy diện tích hình phẳng đã cho là :
click
Ví dụ 3 :
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong
y = x3 – x và y = x – x2
Giải :
Ta có : f1 (x) - f2 (x) = (x3 – x) – (x – x2 ) = 0
Vậy diện tích hình phẳng đã cho là :
click
II - TÍNH THỂ TÍCH
Nhắc lại công thức tính thể tích hình lăng trụ có diện tích đáy bằng B , đường cao h ?
V = B h
1. Thể tích của vật thể :
Cho một vật thể (Hình vẽ)
O
x
Cắt vật thể bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a và x = b ( a < b)
P
Q
a
b
Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x ( a  x  b) , cắt hình đã cho theo thiết diện có diện tích S(x) .
x
S(x)
Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a ; b]
Người ta đã chứng minh được : Thể tích V của phần vật thể trên giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi công thức :
click
Ví dụ 4 :
Tính thể tích khối lăng trụ , biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h .
Giải :
O
x
h
Chọn trục Ox song song đường cao của khối lăng trụ , còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h .
Cho mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox .cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi bằng B ( S(x) = B với 0  x  h )
x
S(x) = B
Áp dụng công thức (5) có :
click
2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt :
a) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B .
Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I
B
O
x
I
sao cho điểm O trùng với đỉnh của khối chóp và hướng xác định bởi véc tơ
h
Lúc đó OI = h
Một mặt phẳng () vuông góc với Ox tại x ( 0  x  h) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là S(x) .

x
S(x)
Ta có :
Và thể tích V của khối chóp là :
click
2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt :
b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S , có diện tích đáy là B , B’ và đường cao h
Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy lớn (P) tại điểm I . Mp đáy nhỏ (Q) tại I’ .
B
S  O
x
I
Đặt đỉnh S trùng với O . OI = b ; OI’ = a ( a < b)
h
Gọi V là thể tích khối chóp cụt , ta có :
Q
I’
B’
P
Vì :
và h = b – a
nên
click
III - THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Bài toán :
Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b) , quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay .
O
x
y
y = f(x)
a
b
Hãy tính thể tích V của nó .
Giải :
Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x (a  x  b) là hình tròn
x
có bán kình : |f(x)|
Nên diện tích thiết diện là : S(x) =  .f 2 (x)
Vậy theo công thức (5) có :
click
Ví dụ 5 :
Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x =  . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox .
Giải :
O
y
y = sinx

x
x
Áp dụng công thức (6) có :
click
Ví dụ 6 :
Tính thể tích hình cầu bán kính R .
O
y
x
- R
R
Giải :
Hình cầu bán kính R là khối tròn thu được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đường
( - R  x  R ) , và đường thẳng y = 0 xung quanh trục Ox .
Vậy
click
Ví dụ trắc nghiệm :
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y = x3 và y = x5 bằng :
A
0
B
- 4
C
1/6
D
2
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y = x + sin x và y = x với 0  x  2 bằng :
A
- 4
B
4
C
0
D
1
c) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay xung quanh trục Ox
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng :
A
0
B
- 
C

D
/6
click
Bài tập về nhà :
Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 trang 121 sách giáo khoa GT 12 - 2008