Chương III. §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Diện tích hình phẳng
HOẠT ĐỘNG 1 :
Hãy tính diện tích hình thang vuông giới hạn bởi các
đường thẳng : y = – 2x – 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5
S1=SABCD= (AD+BC)xAB/2 = 28
Ở Hđ1 bài 2 ta đã tính diện tích S của hình thang vuông giới hạn bởi các đường thẳng :
y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5.
y = – 2x – 1
y = 2x + 1
S
S1
Các em hãy so sánh diện tích hai hình S và S1, cho nhận xét.
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Cho (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b]. f(x)≥0 trên đoạn [a;b]. Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b có diện tích S được tính theo công thức :
Trường hợp f(x) ≤ 0 trên đoạn [a;b] thì :
S = SaABb= SaA’B’b =
.
Tổng quát
Cho (C) : y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b có diện tích S được tính theo công thức :
VD 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và 2 đường thẳng x=-1 ; x=2
Giải : Vì x3 ≤ 0 trên đoạn [-1;0]
và x3 ≥ 0 trên đoạn [0;2] nên:


.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đuờng cong.
Cho hai hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên [a;b]
Trong trường hợp f(x) ≥ g(x) x[a;b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=f(x), y=g(x), x=a, x=b là:
Trong trường hợp tổng quát ta có công thức
.
Chú ý : Nếu x[;],f(x)–g(x)≠0 thì :
Do đó để tính diện tích S theo công thức trên ta cần khử dấu trị tuyệt đối dưới tích phân bằng cách :
Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 , giả sử pt có các nghiệm c , d (a < c < d < b).
Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) không đổi dấu.
Đưa dấu trị tuyệt đối ra khỏi tích phân trên từng đoạn.
Vd 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng : x = 0, x =  và đồ thị của 2 hàm số :
y = sinx , y = cosx .
Giải : Pthđgđ : sinx = cosx
 x = /4  [0; ]
Vậy diện tích hình phẳng là :
Vd 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong : y = x3 – x và y = x – x2.
Giải : Pthđgđ : x3 – x = x – x2
x3 + x2 – 2x = 0
x = -2 ; x = 0 ; x = 1
Vậy diện tích hình phẳng là :
y = x3 - x
y = x – x2.
Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối)
S1
S2
Củng cố: Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x); các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối)
y = f(x)
y = g(x)
y = g(x)
y = f(x)