Chương III. §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học

Bài 2:
Ứng dụng của tích phân trong hình học
Kiểm tra bài cũ:
1. Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h?
2. Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h?
V=Bh
II. TÍNH THỂ TÍCH
1. Thể tích của vật thể
O
a
x
b
x
S(x)
(1)
Ví dụ 1
Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.
S(x)=B
h
x
O
x
Giải:
Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x=0 và x=h.
S(x)
Ví dụ 1
Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.
Giải:
Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x=0 và x=h.
Áp dụng CT (1) ta có:
Vậy một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi S(x)=B; (02. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt
a) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp đó.
2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt
a) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp đó.
Ta có:
b) Từ công thức và cách tính thể tích khối
chóp, hãy xác định công thức tính thể tích
khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B’ và chiều cao bằng h
Ta có:
OI=a; OI’=b (a3. Thể tích khối tròn xoay:
a). Giả sử hình giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b (a y = 0 quay quanh trục Ox
Tạo thành một vật thể tròn xoay T.
Thiết diện của vật thể T, với mp vuông góc với Ox tại điểm x, là một hình tròn bán kính R=|y| = |f(x)|
Diện tích thiết diện: S(x) = y2

Thể tích V của vật thể:
VD2:
a) Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số các đường thẳng x= -3, x= - 1 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục hoành.
b) Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số các đường thẳng x=1, x=3 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục hoành.

Đáp số
Ví dụ 3:
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y=cosx, y=0, x=0 và x=Π/4. tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành
Đáp số
Tính thể tích hình cầu bán kính R
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi 1 hình phẳng giới hạn bởi các đường f(x), g(x), x=a,x=b (aII. TÍNH THỂ TÍCH
1. Thể tích của vật thể
O
a
x
b
x
S(x)
(1)
3. Thể tích khối tròn xoay:
a). Giả sử hình giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b (a y = 0 quay quanh trục Ox
Tạo thành một vật thể tròn xoay T.
Thiết diện của vật thể T, với mp vuông góc với Ox tại điểm x, là một hình tròn bán kính R=|y| = |f(x)|
Diện tích thiết diện: S(x) = y2

Thể tích V của vật thể: