Chương III. §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP : HỒ CHÍ MINH
Trường : THPT LÝ THƯỜNG KIỆT
Giáo viên :
Lê Thành Nam
Thực hiện giảng dạy ngày 22 / 12 / 2004
Lớp : 12 A7
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
I. Diện tích của hình phẳng
1. Diện tích của hình thang cong
a. Hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b].
Ta đã biết diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x) , các đường thẳng
x = a, x = b và trục hoành bằng :


y = f(x)
a
b
b. Nếu y = f(x) liên tục và


thì
và diện tích của hình thang cong ABCD bằng diện tích của hình thang cong EFCD là hình đối xứng của hình thang cong đã cho qua trục hoành.
Vậy ABCD có diện tích :






ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN

c. Vậy diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) , hai dường thẳng x = a, x = b và trục Ox là :




y
x
O
A
B
C
D
a
b
F
E



ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
y = f(x)
y = - f(x)
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
Giải :
Ta có :
Vd 1 : Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của hàm số y = f(x) = sinx
trên đoạn và trục hoành .
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
Giải :
Ta có :
Vd 2 : Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = sin2x và trục Ox.
1
2. Diện tích hình phẳng
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a , x = b và đồ thị của hai hàm số y= f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a ; b] được tính bởi :


Nếu phương trình f(x) - g(x)= 0
có nghiệm thì :

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
y = f(x)
y = g(x)
a
b
Vd 1 : Tìm diện tích hình phẳng nằm giữa các đường :
y = x3 , y = 0 , x = -1 , x = 2
Giải :
Đặt f(x) = x3 , g(x) = 0
f(x) - g(x) = 0 <=> x3 = 0 <=> x = 0
Nghiệm x = 0 thuộc [ -1 ; 2 ]
Diện tích cần tìm là :
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
Vd 2 : Tìm diện tích hình phẳng nằm giữa hai đường
f(x) = x3 - 3x và g(x) = x
Giải :
f(x) - g(x) = 0 <=> x3 - 3x = x
x3 - 4x = 0 <=> x = 0, x = 2, x = -2
Diện tích cần tìm:

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
2
-2
f(x)
g(x)
Vd 3 : Tính diện tích của hình tròn (C) : x2 + y2 = R2
Giải :
Đường tròn có thể xem là hợp
của hai hàm số


Vậy diện tích của hình tròn bằng :

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
Giải :
Đặt x = R.sint => dx = R.cost.dt
x = R => sint = 1 => t =
x = 0 => sint = 0 => t = 0




ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
O
x
y
- R
R
- R
R
y = f(x)
y = - f(x)
Vd 4 : Tính diện tích của hình Elip (E) :
Giải : ( tương tự ví dụ 3 )
Ta có Elip có thể xem là hợp của hai hàm số



Diện tích:
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
Vd 4 : Tính diện tích của hình Elip (E) :
Giải :
Đặt x = a.sint => dx = a.cost.dt
x = a => sint = 1 => t =
x = 0 => sint = 0 => t = 0
b
y
x
- b
a
- a
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
O
f(x)
- f(x)
II. Thể tích của các vật thể
1. Công thức tính thể tích
Vật thể T giới hạn bởi hai m?t phẳng song song và lần lượt vuông góc trục Ox
tại a , b .

Gọi là m?t phẳng vuông góc trục Ox tại x thuộc [a ; b] và cắt T theo một thiết diện có diện tích là S(x) .

Thể tích của vật thể T được cho bởi công thức
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
a
b
x
x
y
O
S(x)
Thể tích :
2. Thể tích của khối nón khối chóp , khối nón cụt và khối chóp cụt
a. Thể tích khối nón và khối chóp
Khối nón (chóp ) đỉnh S , có đường cao h , và diện tích mặt đáy là B , thể tích V được tính bởi


ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
P
Q
B
B
S
x
H
K
2. Thể tích :
b. Thể tích khối nón cụt , khối chóp cụt .
Khối nón cụt ( chóp cụt ),
có đường cao h ,
diện tích m?t đáy lớn là B và mặt đáy nhỏ là B` .

Thể tích V :
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
P
Q
B
B
S
x
H
K
B’
B’
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
Thể tích
3. Thể tích của vật thể tròn xoay
a. Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = f(x) , x = a, x = b, y = 0
quay xung quanh trục Ox tạo thành một vật thể tròn xoay .
Thiết diện của vật thể T với m?t phẳng vuông góc với Ox tại x ,
là một hình tròn có bán kính y
( y = f(x)) nên diện tích thiết diện : S(x) = y2 .
Vậy thể tích của vật thể tròn xoay
a
b
x
y=f(x)
Vd 1 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi
phép quay xung quanh trục Ox của hình giới hạn
bởi trục Ox và đường y = sinx
Giải :
Theo công thức ta có :
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
Thể tích
b. Xét đường cong x = g(y) với g(y) là một hàm số liên tục trên đoạn [ a ; b ]
Nếu hình giới hạn bởi các đường x = g(y) , y = a , y = b và x = 0
quay xung quanh trục Oy
thì thể tích V của vật thể tròn xoay được tính bởi :
x = g(y)
a
b
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
Vd 2 :
Tính thể tích của vật thể sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Oy của hình giới hạn bởi các đường


y = 2 ; y = 4 và x = 0 .
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
Giải :
Theo công thức ta có :



2
x
O
y
2
4
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
4. Thể tích của khối cầu
Khối cầu là một vật thể tròn xoay sinh ra do quay hình tròn có tâm tại O, và giới hạn bởi đường tròn
x2 + y2 = R2
quay xung quanh trục Ox :
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
III. Ứng dụng của vật lý
1. Bài toán 1 :
Một dòng điện xoay chiều chạy qua một đoạn
mạch có điện trở thuần R. Tính nhiệt lượng Q toả ra trên đoạn
mạch đó trong thời gian một chu chu kỳ T theo công thức :
Giải :
Ta có :

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
Đặt vào một đoạn mạch
một hiệu điện thế xoay chiều
Khi đó trong mạch có dòng điện xoay chiều
với là độ lệch pha giữa dòng điện và hiệu điện thế .
Hãy tính công của dòng điện xoay chiều thực hiện trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kỳ theo công thức
Giải :
Ta có :

1. Bài toán 2 :
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC
VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN
Củng cố :
1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y = f(x) ; y = g(x) ; x = a và x = b .
2. Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi
y = f(x) ; x = a ; x = b , trục Ox
khi quay quanh trục Ox .

E. Bài tập : ( trang 154 & 155 SGK)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP : HỒ CHÍ MINH
Trường : THPT LÝ THƯỜNG KIỆT
Giáo viên :
Lê Thành Nam
Học sinh lớp : 12 A7