Chương III. §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học

Nhiệt liệt chào mừng các vị Đại biểu ,
các Thầy giáo, Cô giáo về dự
“ Hội giảng thay sách giáo khoa lớp 12”
năm học 2008 – 2009.
Giáo viên Trần Thế Độ
Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi 1: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi:
Đồ thị hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên [a; b]
Đường y = 0 ( trục hoành)
Hai đường thẳng x = a, x = b
Câu hỏi 2: Tính tích phân sau
Đặt vấn đề
Câu hỏi 1: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi:
Đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]
Đường y = 0 ( trục hoành)
Hai đường thẳng x = a, x = b
và không âm
?
Bài 5. Ứng dụng tích phân
để tính diện tích hình phẳng
TH 1: f(x)≥0 trên đoạn [a;b]
TH2: f(x) ≤ 0 trên đoạn [a;b] => -f(x) ≥0
y = f(x) liên tục trên [a;b]
x = a , x = b
y = 0 (trục hoành)
diện tích S được tính theo công thức :

Tổng quát
I. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
GHI NHỚ
y = f(x) liên tục trên [a;b]
y = 0 (trục hoành)
x = a
x = b
Diện tích S của Hình phẳng giới hạn bởi các đường :
được tính theo công thức
(1)
Ví dụ 1 (Nhóm 1)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2
Áp dụng
Ví dụ 2 (Nhóm 2):
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 – x2 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3
y = f(x) liên tục trên [a;b]
y = 0 (trục hoành)
x = a
x = b
Diện tích S của Hình phẳng giới hạn bởi các đường :
được tính theo công thức
Ví dụ 2 (Nhóm 2):
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 – x2 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3
Ví dụ 1 (Nhóm 1)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2
y = g(x) liên tục trên [a; b]
y = f(x) liên tục trên [a;b]
y = 0 (trục hoành)
x = a
x = b
Diện tích S của Hình phẳng giới hạn bởi các đường :
Đặt vấn đề:
được tính theo công thức nào ?
II.Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đuờng :
y=f(x) , y=g(x) liên tục trên [a;b]
Trường hợp f(x) ≥ g(x) x[a;b]
Trường hợp tổng quát ta có công thức:
x = a , x = b
Trường hợp f(x) ≤ g(x) x[a;b]
(2)
GHI NHỚ
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đuờng :
y=f(x) liên tục trên [a;b]
x = a
là
y=g(x) liên tục trên [a;b]
x = b
(2)
Chú ý : Nếu x[;],f(x)–g(x)≠0 thì :
Do đó để tính diện tích S theo công thức trên ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối dưới dấu tích phân bằng cách :
+) Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 ,trên [a; b]
- Nếu phương trình vô nghiệm thì
- Giả sử pt có các nghiệm c , d (a < c < d < b)
(2)
+) Vẽ đồ thị
Vídụ 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng : x = 0, x =  và đồ thị của 2 hàm số :
y = sinx , y = cosx .
Giải : Pthđgđ : sinx = cosx
 x = /4  [0; ]
Vậy diện tích hình phẳng là :
Vídụ 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong : y = x3 – x và y = x – x2.
y = x – x2.
y = x3 - x
Giải : Pthđgđ : x3 – x = x – x2
x3 + x2 – 2x = 0
x = -2 ; x = 0 ; x = 1
Vậy diện tích hình phẳng là :
Ví dụ 5
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P) : y = – x2 + 4x –3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm A(0; -3) và B(3; 0)
Tiếp tuyến tại A(0; -3) : y = 4x – 3
Tiếp tuyến tại B(3; 0) : y = -2x +6
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabpl y = – x2 + 4x –3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm A(0; -3) và B(3; 0)
Giải :
Gọi S1 , S2 là diện tích các tam giác cong ACD và BCD. Ta có:
S1 =
S2 =
Vậy
Chú ý 1:
Để tính diện tích của một số hình phẳng phức tạp hơn ta phải chia hình đã cho thành một số hình đơn giản mà ta đã biết cách tính.
Ví dụ 5
Tiếp tuyến tại A(0; -3) : y = 4x – 3
Tiếp tuyến tại B(3; 0) : y = -2x +6
Ví dụ 6
Tính diện tích S của hình phẳng gới hạn bởi
Có bạn viết
Hỏi đúng hay sai
Chú ý 2: Bằng cách coi x là hàm số với biến y, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Tóm tắt bài học:
Diện tích S của Hình phẳng giới hạn bởi các đường :
Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối)



Củng cố: Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x); các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối)
y = f(x)
y = g(x)
y = g(x)
y = f(x)


Trong thực tiễn cuộc sống cũng như trong khoa học kỹ thuật người ta cần phải tính diện tích của những hình phẳng phức tạp . Chẳng hạn:
Khi xây dựng nhà máy thuỷ điện , để tính lưu lượng của dòng sông ta phải tính diện tích thiết diện ngang của dòng sông. Thiết diện đó thường là một hình khá phức tạp
Trước khi phép tính tích phân ra đời , với mỗi hình như vậy người ta lại phải nghĩ ra một cách để tính.
Sự ra đời của tích phân cho chúng ta một phương pháp tổng quát để giải hàng loạt những bài toán tính diện tích nói trên
Bài sau chúng ta tiếp tục nghiên cứu
Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể
Bài tập về nhà
Làm bài tập 26, 27, 28 ( trang 167 SGK)
Đọc bài
“Ứng dụng tích phân để tính thể tích”
Xin chân thành cảm ơn
Bài học kết thúc tại đây, Xin kính chúc các thầy giáo cô giáo mạnh khoẻ, hạnh phúc.
Chúc các em học sinh đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới
Ví dụ 7:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip
Giải
Gọi S là diện tích của một phần tư hình elip nằm trong góc phần tư thứ nhất. Đó là một hình phẳng gới hạn bởi đồ thị hàm số
Vậy
=
y = 0
x = 0
x = a
Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = lnx , y = -lnx và y = 1