Chương III. §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học

Tiết 60
ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Nhắc lại định lí về mối liên hệ giữa diện tích hình thang cong và tích phân?
Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, đường thẳng x =a, x= b là:




?1
Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x2 - 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3.
Nhóm 1: Tính diện tích hình tròn bán kính R giới hạn bởi đường tròn có phương trình : x2 + y2 = R2
Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.
+ Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 từ đó so sánh diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2 trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 v?i k?t qu? ? trờn.
Nhóm 3: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 6, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3.
H1
Thực hiện các bài tập sau:
Diện tích hình tròn bán kính R là: S = 4S’
trong đó S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số
và hai đường thẳng x = 0 và x = R.
Ta có:
Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt.
x = 0 thì t = 0; x = R thì t = /2
Vậy S = 4S’ = R2
N1
Quay lại…
Lời giải
Xét đường tròn có phương trình: x2 + y2 = R2
N2
+ Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là:
+ Căn cứ vào hình vẽ nhận thấy: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2, trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là:
S2 = S1 =
y = x2
y = - x2
Vậy diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, âm trên đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là gì?
Tiếp tục…
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, âm trên đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 6 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là:
N3
Quay lại…
N4
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là:
Quay lại…
x
y
Nhận xét:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: y = x3 – 3x2 + 6 , y = x2 - 2x + 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là:
S = S3 – S4
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b bằng?
Tiếp tục…
Từ kết quả của nhóm 3 và nhóm 4, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số:
y = x3 – 3x2 + 6 , y = x2 - 2x + 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 ?
y = x3 – 3x2 + 6
y = x2 - 2x + 1
Một số công thức cần nhớ
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b
Quay lại…
2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x3 – 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2.
Lời giải:
Đặt f(x) = x3 – 1.
Ta có: f(x) ≤ 0 trên [0;1] và f(x) ≥ 0 trên [1; 2]
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x là:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
3. Bài tập vận dụng
Thực hiện H1 và H2 trong sách giáo khoa!
H1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = 4 – x2, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành.
H2 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 2 và Parabol y = x2 + x - 2
H1: Giải:
Đặt f(x) = 4 – x2, f(x) ≥ 0 trên [0; 2] và f(x) ≤ 0 trên [2; 3] nên:
H2: Giải:
PT hoành độ giao điểm: x2 + x - 2 = x + 2 <=> x = -2; x = 2. Vậy:
Chú ý: + Để khử dấu giá trị tuyệt đối trong công thức:
• Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b], giả sử pt có các nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b).
Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) không đổi dấu.
Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [c; d], ta có:
Ta thực hiện như sau:
Củng cố:
- Ghi nhớ các công thức tính diện tích hình phẳng.
- Bài tập đề nghị:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số:
y = x2 – 4x +3, y = - 2x + 2 và y = 2x – 6.