Chương III. §3. Ứng dụng của tích phân trong hình học

1
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
TÍNH THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ
BÀI 5:
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG HÌNH HỌC
Download tại: http://violet.vn/anhngu
BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x = 5.
Giải: Ta có (đvdt)


và
a) Dùng công thức hình học tính diện tích hp.

b) Tính tích phân sau
BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Bài toán: Tính diện tích hp
y = - f(x)
B’
A’
S’
- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì
- Nếu f(x) ≤ 0 trên [a;b] thì
- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;c] và [d;b], f(x) ≤ 0 trên [c;d] thì
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Bài toán: Tính diện tích hp
Ví dụ: Tính diện tích hp giới hạn bởi
Chú ý: Khi tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối
(đvdt)
BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán: Tính diện tích hình phẳng
BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán: Tính diện tích hình phẳng
- Xét TH f1(x) ≥ f2(x) ≥ 0 x  [a;b].
Khi đó S = S1 - S2
Em có thể tính S thông qua S1 và S2 không?
Và tính như thế nào?
BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán: Tính diện tích hình phẳng
Cách tính:
- Giải pt f1(x) = f2(x)
(f1(x) - f2(x) = 0)
- Tách tích phân thành
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng:
BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán: Tính diện tích hình phẳng
Ví dụ: Tính diện tích hp:
Giải: - Ta có f1(x) - f2(x) = x2 - x - 2 = 0
- Ta có
(đvdt)
BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Ví dụ: Cho các hình phẳng sau
Nhóm 1: Hãy cho biết S1 giới hạn bởi các đường nào?
Nhóm 2: Hãy nêu công thức tính diện tích S1 bằng tích phân trong đó đã phá bỏ
(không có) dấu giá trị tuyệt đối?
Nhóm 3: Hãy cho biết S2 giới hạn bởi các đường nào?
Nhóm 4: Hãy nêu công thức tính diện tích S2 bằng tích phân trong đó đã phá bỏ
(không có) dấu giá trị tuyệt đối?
Tóm lại
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán: Tính dt
Bài toán: Tính dt
Chú ý: Tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối
Cách tính: - Giải pt f1(x) - f2(x) = 0
- Tách tích phân và đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân
11
Tính diện tích của hình tròn và Elíp
x
y
O
x
y
O
R
R
S1
Với Elíp tương tự ta có:
a
b
BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Bài tập về nhà: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

S =

b
a
|f1(x)- f2(x)|.dx
Ví dụ :

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3 -3x và y = x
Giải :

Xét PT hđộ gđiểm:
? x3 - 4x = 0
?
x3 -3x = x
x= 0
x= 2
x= -2
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
S=
|x3- 4x|.dx
(x3- 4x)dx
|
|
= |- 4+8 |
+ | 4-8 |
= 8 (ñ.v.d.t)
BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
2/ Tính diện tích hình tròn x2 + y2 = R2

Giải
BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán: Tính dt hình phẳng
Ví dụ: Tính diện tích hp:
Giải: - Ta có pt ex = 1
 x = 0  [1;2]
- Ta có
(đvdt)
II.Theå tích của caùc vaät theå:
17
II.THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
x
x
b
a
y
O
CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH
S(X)
18
x
x
O
h
y
THỂ TÍCH CỦA khối nón, chóp, nón cụt và chóp cụt
Ta có:
Xét phép:
Cho khối chóp (nón) có diện tích đáy là S, đường
cao là h. Tính thể tích khối chóp (nón) đó.
S
19
Từ công thức và cách tính thể tích khối nón, chóp, hãy xác định công thức tính thể tích khối nón cụt và chóp cụt?
THỂ TÍCH CỦA khối nón cụt và chóp cụt
Ta có:
20
O
x
x
y
THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
f(x)
a
b
Ta có:
Vậy:
S(x)
a) Vật thể tròn xoay được sinh ra khi cho y = f(x) ltục trên [a;b], x = a, x = b quay quanh Ox có thể tích:
Ví dụ:
1/ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bởi đồ thị hàm số y= sinx , trên đoạn [0;?] quay quanh Ox
Ta có:
sin2xdx
V =
2/ Tính thể tích giữa y= x2-4x quay quanh Ox, với 1  x  4
Giải:
(đ.v.t.t)
23
Tương tự trên ta có:
b) Vật thể tròn xoay được sinh ra khi cho x = g(y) liên tục trên [a;b], y = a, y= b quay quanh Oy có thể tích: