Chương III. §3. Phương trình đường thẳng trong không gian

VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
I. ĐỊNH NGHĨA :
Một vectơ khác được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng a nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với a.
Rõ ràng là :
a. Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng a thì k ( với k khác 0) cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
b. Một đường thẳng được xác định nếu biết một điểm nằm trên nó và một vectơ pháp tuyến của nó.
VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :
Bài toán: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng  đi qua điểm M0 (x0,y0) và có vectơ pháp tuyến (A;B). Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M (x,y) nằm trên .
M0(x0;y0)

VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :
Giải: Với mọi điểm M (x,y) ta có M0M = (x - x0 ; y - y0). Điểm M nằm trên  khi và chỉ khi M0m và n vuông góc với nhau, hay M0M.n = 0. Như vậy :
A (x - x0) + B (y - y0) = 0 (*)
Phương trình (*) chính là điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y) nằm trên 
VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :
Chú ý rằng nếu ta đặt C = - Ax0 - Ay0 thì phương trình (*) trở thành: Ax + By + C = 0, trong đó hai số A và B không đồng thời bằng 0.
Phương trình Ax + By + C = 0 (A2 + B2 khác 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng  đối với hệ tọa độ Oxy.
Định lí
Đối với một hệ tọa độ Oxy cho trước, mọi phương trình Ax + By + C = 0 (với A,B không đồng thời bằng 0) đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định nào đó.
VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG :
VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
III. VÍ DỤ:
Bài 1
Cho hệ tọa độ Oxy. Viết phương trình tổng quát của:
a. Đường thẳng Ox b. Đường thẳng Oy
Giải:
a. Đường thẳng Ox qua O(0;0) và nhận = (0;1) làm pháp vectơ, có phương trình:
0 (x – 0) + 1(y – 0) = 0  y = 0
b. Đường thẳng Oy qua O(0;0) và nhận = (1;0) làm pháp vectơ có phương trình:
1 (x – 0) + 0 (y – 0) = 0  x = 0
VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
III. VÍ DỤ:
Bài 2
Cho đường thẳng () có phương trình Ax + By + C = 0 và điểm M0(x0;y0)
a. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M và song song với ()
b. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua M và vuông góc với ()
Giải:
a. Đường thẳng (D) // () nên nhận = (A;B) là FVT và (D) qua M0(x0;y0) có phương trình:
A (x – x0) + B(y – y0) = 0  Ax + By – Ax0 – By0 = 0
b. = (A;B) là FVT của đường thẳng (). Do (D)  () nên = (B;-A) là FVT của (D) và (D) qua M0(x0;y0) có phương trình:
B (x – x0) – A (y – y0) = 0  Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0
VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
III. VÍ DỤ:
Bài 3
CMR đường thẳng (d) qua A(a;0); B(0;b) (a ≠ 0; b ≠ 0) có phương trình:


Giải:
Vì = (-a;b) nên = (b;a) vuông góc với AB.
Đường thẳng (D) cần tìm qua A(a;0) và nhận làm FVT có phương trình:
b(x – a) + a(y – 0) = 0  bx + ay = ab
Chi 2 vế cho ab ta được:


VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
IV. CỦNG CỐ - DẶN DÒ:
Bài tập phần Phương trình đường thẳng