Chương III. §3. Phương trình đường thẳng trong không gian

Tiết 53: §6. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG
O
x
y
z
d
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Em hãy chọn đáp án đúng
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau thì giao của hai mặt phẳng là:
A. Một điểm
B. Một đường thẳng
C. Một đoạn thẳng
D. Một đường cong
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Như vậy trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d. Ta có thể coi d là giao của hai mặt phẳng () và (`)
d
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
d
Vậy nếu (): Ax + By + Cz + D = 0
và (`): A`x + B`y + C`z + D` = 0 thì ta có thể xem tập hợp các điểm M(x; y; z)  (d) là nghiệm của hệ phương trình nào?
Trả lời:
M(x; y; z)  (d) là nghiệm của hệ phương trình:
M
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
?
Hệ phương trình:
với các điều kiện A2 + B2 + C2 ≠ 0, A`2 + B`2 + C`2 ≠ 0 và
A : B : C ≠ A` : B` : C` gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Vậy để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta phải làm gì ?
Ví dụ: đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng: 2x + 3y + z +5 = 0 và mặt phẳng x – 2y + 2z – 1 = 0.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
2. Phương trình tham số của đường thẳng
d
Em hãy đọc SGK trang 89, quan sát vào hình vẽ và cho biết những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) ?
D. Cả ba vectơ trên là vtcp của (d).
?
Vectơ
gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ( d ) nếu :
dường thẳng chứa song song hoặc trùng với ( d ).
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm M0 (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương
* Bài toán:
Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên d
M0
M
Giải:
Khi M  d, em có nhận xét gì về quan hệ giữa vectơ M0M và vectơ u ?
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm M0 (x0; y0; y0) và có vectơ chỉ phương
* Bài toán:
Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên d
M0
M
Giải:
(x – x0; y – y0; z – z0)
Nên: x – x0 =
ta
y – y0 = tb , z – z0 = tc
2. Phương trình tham số của đường thẳng
d
M0
x – x0 =
ta ,
y – y0 = tb , z – z0 = tc
từ đó ta có:
x =
y =
z =
x0 + at
y0 + bt
z0 + ct
(a2 + b2 + c2 ≠ 0
Ngược lại mọi điểm M (x; y; z) thoả mãn hệ phương trình trên đều nằm trên một đường thẳng
Chú ý: Trong hệ pt trên t gọi là tham số. Với mỗi giá trị của t ta có một điểm M nằm trên d.
Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần phải xác định được hai yếu tố: toạ độ một điểm mà đường thẳng đị qua và toạ độ một vtcp nào đó của đường thẳng.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Vậy em hãy định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng ?
?
Hệ phương trình:
với điều kiện a2 + b2 + c2 ≠ 0 gọi là phương trình tham số của đường thẳng.
Vậy để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần xác định mấy yếu tố ?
?
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Ví dụ 1: Đường thẳng d đi qua điểm (2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương (-1; 3; 5) có phương trình tham số là:
Hệ phương trình:
với điều kiện a2 + b2 + c2 ≠ 0 gọi là phương trình tham số của đường thẳng.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1; 3)
Thi tốt nghiệp BT THPT lần 1 năm 2007
Hệ phương trình:
với điều kiện a2 + b2 + c2 ≠ 0 gọi là phương trình tham số của đường thẳng.
Giải:
A
B
Em hãy tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB ?
Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương
Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB là:
x =
y =
z =
0 + 1.t
2 + (-3).t
1 + 2.t

x =
y =
z =
t
2 - 3t
1 + 2.t
Từ phương trình tham số,
với x = x0 + at
 t = ?
Với y = y0 + bt
 t = ?
Với z = z0 + ct
 t = ?
Vậy nếu a, b hoặc c bằng 0 thì sao nhỉ ?
Trong trường hợp một hoặc hai trong ba số a, b, c bằng 0 thì ta vẫn viết PT trên với quy ước: Nếu mẫu số bằng 0 thì tử cũng bằng không (chẳng hạn a = 0 thì x - x0 = 0 …)
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
?
Phương trình:
với điều kiện a2 + b2 + c2 ≠ 0 gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.
Ví dụ : Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm M(3; 4; 1) và N(2; 3; 4)
Thi tốt nghiệp BT THPT lần 2 năm 2007
Giải:
M
N
Đường thẳng MN có một vectơ chỉ phương
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng MN là:
4. Chú ý
Tóm tắt những nội dung chính:
?
Hệ phương trình:
với các điều kiện A2 + B2 + C2 ≠ 0 và A : B : C ≠ A` : B` : C` gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Hệ phương trình:
với điều kiện a2 + b2 + c2 ≠ 0 gọi là phương trình tham số của đường thẳng.
?
?
Phương trình:
với điều kiện a2 + b2 + c2 ≠ 0 gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.
Bài tập về nhà
Bài 1,2,3 ,5 SGK trang 91
Hướng dẫn bài 2a trang 91:
Tìm phương trình của đường thẳng trong trường hợp đi qua điểm (4; 3; 1) và song song với đường thẳng:
Từ giả thiết suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
Vậy phương trình của đường thẳng cần tìm là:
Em đã chọn đúng !
Em �� ch�n sai ! H�y kiĨm tra l�i.