Chương III. §3. Phương trình đường thẳng trong không gian

V
x
y
z
o
-12x + 14y + 5z + 25 = 0
P
Q
Kiểm tra bài cũ
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC .Biết
A( 3 ; -1 ; 5 ) ; B ( 4 ; 2 ; -1 ) ; C ( 1 ; -2 ; 3 )
Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng
a) (P) qua A và vuông góc với BC
b) (Q) qua ba điểm A ;B ;C
Giải
a) Mặt phẳng (P) qua A( 3 ; -1 ; 5) và có VTPT là
phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là
-3x – 4y + 4z – 15 = 0
b)
Mặt phẳng (Q) có cặp VTCP là
và
là VTPT của mặt phẳng (Q)
phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) là
A
B
C
M
PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG
P
Q
Ax + By + Cz + D = 0
A’x + B’y + C’z + D’ = 0.
Δ
O
x
y
z
Điều kiện :
(1)
gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng Δ
nằm trên đường thẳng d hoặc nằm
trên đường thẳng song song với d
được gọi là vectơ chỉ phương của d
1) Vec tơ chỉ phương của đường thẳng :
d
d
2.Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng
(P): Ax + By + Cz +D =0.
(Q):A’x + B’y + C’z + D’ =0.
(P) Cắt (Q) theo giao tuyến là đường thẳng Δ
hệ phương trình


(P)
(Q)
Phương pháp chung
Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng đó và viết phương trình 2 mặt phẳng đó.

Phương trình tổng quát của đường thẳng
Để lập phương trình tổng quát của một đường thẳng ta làm như thế nào?
1.Phương trình tổng quát của đường thẳng :
x
y
z
X = 0
y = 0
Z = 0
Chú ý :
Phương trình các trục tọa độ
O
P
Q
Ví dụ :
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC .Biết
A( 3 ; -1 ; 5 ) ; B ( 4 ; 2 ; -1 ) ; C ( 1 ; -2 ; 3 )
Tìm phương trình tổng quát của đường cao
Kẻ từ A của tam giác ABC
Giải
Mặt phẳng (P) qua A( 3 ; -1 ; 5) và có VTPT là
PTTQ của mp (P) là:
-3x – 4y + 4z – 15 = 0
Gọi (Q) là mp qua 3 điểm A,B,C
Mặt phẳng (Q) có cặp VTCP là
và
là VTPT của mặt phẳng (Q)
PTTQ của mặt phẳng (Q) là
-12x + 14y + 5z + 25 = 0
A
B
C
Gọi (P) là mp qua A( 3 ; -1 ; 5) và
Gọi d là đường cao kẻ từ A
-3x – 4y + 4z – 15 = 0
-12x + 14y + 5z + 25 = 0
d
PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG
2.Phương trình tổng quát của đường thẳng :
3.Phương trình tham số, phương trinh chính tắc của đường thẳng
Ax + By + Cz + D = 0
A’x + B’y + C’z + D’ = 0.
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm
và có một VTCP là
1) Vec tơ chỉ phương của đường thẳng :

Phương trình tham số,chính tắc của đường thẳng
o
x
y
z
d
Cho đường thẳng d đi qua điểm
Và có vectơ chỉ phương
M ( x ; y ; z ) nằm trên đường thẳng d
Khi và chỉ khi
Cùng phương với
Nghĩa là tồn tại một số t sao cho
(1)
(1)
Khử t
Ta được PT
Gọi là phương trình chính tắc của d
Gọi là phương trình tham số của d
PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG
2.Phương trình tổng quát của đường thẳng :
3.Phương trình tham số, phương trinh chính tắc của đường thẳng
Ax + By + Cz + D = 0
A’x + B’y + C’z + D’ = 0.
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm
và có một VTCP là
 Hệ phương trình
t là tham số
Quy ước:
Nếu a =0 thì
gọi là phương trình tham số của đường thẳng d
 Hệ phương trình
gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d
4.Các ví dụ:
VD1:viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau :
a) Đi qua điểm A(1;-2;3) và vuông góc với mặt phẳng (P) : -2x + 3y – z + 7 = 0
b) Đi qua điểm M( -1;0;2) và song song với đường thẳng d’ có phương trình:

Đường thẳng d’ có VTCP là :

Phương trình tham số của d’ là
Giải
a)
b)
d
Phương trình tham số của d là :
và d đi qua điểm M(-1; 0; 2)
Ví dụ 2 :
Đường thẳng d qua A(-3;0;-5)
và có VTCP là :
Phương trình tham số của d là
Cho
Viết phương trình tham số và
chính tắc của đường thẳng d
Giải
Phương trình chính tắc của d là
Ví dụ 3 :
Cho
Viết phương trình tổng quát
của đường thẳng d dưới dạng
giao của hai mặt phẳng song
song với các trục Ox và Oz
Phương trình chính tắc của d là
phương trình tổng quát của d là
(song song Ox)
(song song Oz)

Giải: Gọi d’ là hình chiếu
vuông góc của d lên mp (P)
VD4: cho mp (P) và đường thẳng (d) có phương trình :
Viết phương trình đường thẳng d’
là hình chiếu vuông góc của đường
thẳng d trên mặt phẳng (P).

d
d’
Mặt phẳng (Q) có VTPT là:

(Q): 15x+6y-6z- 9=0
mp (Q) đi qua điểm A(1;-1;0) trên d
và có cặp vectơ chỉ phương là
Gọi (Q) là mp chứa d và d’
Thì :
Vậy PTTQ của d’ là
PT TQ của mp (Q) là :
Chú ý :cho



PTCT của đường thẳng đi qua 2 điểm AB là :
PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG
2.Phương trình tổng quát của đường thẳng :
3.Phương trình tham số, phương trinh chính tắc của đường thẳng
Ax + By + Cz + D = 0
A’x + B’y + C’z + D’ = 0.
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm
và có một VTCP là
 Hệ phương trình
t là tham số
Quy ước:
Nếu a =0 thì
gọi là phương trình tham số của đường thẳng d
 Hệ phương trình
gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d
d
(P)
A
B
C



(Q)
Đường cao của tam giác