Chương III. §3. Phương trình đường thẳng trong không gian

Nhắc lại vài kiến thức cũ
Các dạng phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng ?
Pt tham số
Pt chính tắc
Pt tổng quát

Mấy dạng ?
PT của đường thẳng trong mặt phẳng
PT tham số ?
Các số màu vàng là cái gì ?
(?)

. ? M0(x0 ; y0)
Còn các số
màu đỏ ?
(?)

. ? M0
PT của đường thẳng trong mặt phẳng
PT tham số ?
2. PT chính tắc ?
3. PT tổng quát ?
Ax + By + C = 0

Các số màu vàng
là gì ?
(?)
PT đường thẳng
trong mặt phẳng
PT tham số
2. PT chính tắc
3. PT tổng quát
Ax + By + C = 0
PT đườg thẳng
trong không gian ?
Dự
đoán!
Ax + By + Cz + D = 0
Chú ý
Đúng
Dự đoán
Sai
?
PT đường thẳng
trong mặt phẳng
PTđường thẳng
trong không gian ?
Ax + By + Cz + D = 0
Dự
đoán
nào
sai ?

Vì sao ?

§6. Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng
trong khoâng gian
1. Phương trình tham số
(d)
1.1. Vectơ chỉ phương
gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d), nếu đường thẳng chứa nó song song hay trùng với (d).
Trong mặt phẳng, thế nào là vectơ chỉ phương của một đường thẳng ?
§6. Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng
trong khoâng gian
1. Phương trình tham số
1.2. Bài toán
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) qua điểm M0(x0, y0, z0) và có vectơ chỉ phương là

Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M(x,y,z) thuộc (d).
? M0(x0, y0, z0)
(d)
? M0
(d)
? M
? M`
M thuộc (d) khi nào ?
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
1. Phương trình tham số
? M0
(d)
1.2. Bài toán
� Giải :
M ? (d) ?
? M
Hãy xác định tọa độ của vectơ này !




Hãy biểu diễn quan hệ này
dưới dạng tọa độ !
? M(x,y,z) ? (d) ? tọa độ của M thỏa mãn hệ pt (1)
(a2+b2+c2 ? 0)
? M`
Ngược lại thì sao ?

Tập hợp những điểm M(x,y,z) có tọa độ thỏa mãn hệ pt dạng (1), có phải là một đường thẳng không ?
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
1. Phương trình tham số
1.3. Chú ý
Người ta chứng minh được rằng,
Tập hợp tất cả các điểm M(x,y,z) thỏa mãn hệ pt :
là một đường thẳng, qua A(x1,y1,z1) và có vectơ chỉ phương là
(với k2 + l2 + h2 ? 0
và t là tham số)
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
1. Phương trình tham số
1.4. Định nghĩa
Hệ phương trình
(với a2 + b2 + c2 ? 0)
được gọi là phương trình tham số của đường thẳng,
t gọi là tham số.

Dự đoán thứ nhất
hoàn toàn đúng.
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
1. Phương trình tham số
Ví dụ 1
Lập phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm M0(1,-2,3) và vuông góc với mặt phẳng (P) :
4x - 5y + z - 2 = 0
? M0(1,-2,3)
P
Muốn lập pt tham số của (d)
cần biết mấy yếu tố ?
Có thể tìm được một vectơ chỉ phương của (d) không ?
(d)
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
1. Phương trình tham số
? M0(1,-2,3)
P
Ví dụ 1
Giải :
? (d) ? (P) ?
là một vectơ chỉ phương của (d) (1)
? M(1,-2,3) ? (d) (2)
(1), (2) ? pt tham số của (d) là :
(d)
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
2. Phương trình chính tắc
2.1. Nhận xét : Cho đường thẳng (d) qua điểm M0(x0,y0,z0) và có vectơ chỉ phương là
(1) với a2 + b2 + c2 ? 0

� Nếu a,b,c ? 0 :
� Nếu a = 0, hay b = 0 hay c = 0 :
Quy ước : Trong hệ thức (2), nếu tử số bằng không, thì mẫu số cũng bằng không.

Từ (1), hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x, y, z mà không có tham số t.
a = 0
Phân số không có nghĩa
Nhưng : x = x0
hay x - x0 = 0
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
2. Phương trình chính tắc
2.2. Định nghĩa : Với quy ước trên
(a2 + b2 + c2 ? 0)
được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
Ví dụ
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (?) qua hai điểm A(1, 0, 2) và B(-1,1, 5)
Giải :
(?) qua A(1,0,2)
và có Vtcp là
? (?) có pt chính tắc là
? A(1,0,2)
? B(-1,1,5)
(?)
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
2. Phương trình chính tắc
3. Phương trình tổng quát
Trong không gian,
một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết những yếu tố nào ?
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
3. Phương trình tổng quát
? M
? M
?
?
B
?
A
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
3. Phương trình tổng quát
? M
P
Q
(d)
?
A
?
B
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
3. Phương trình tổng quát
P
Q
(d)
3.1. Nhận xét
Đường thẳng (d) hoàn toàn xác định nếu biết hai mặt phẳng (P) và (Q) khác nhau nào đó chứa (d).
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
3. Phương trình tổng quát
P
Q
(d)
3.2. Bài toán
Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M(x,y,z) thuộc đường thẳng (d) xác định bởi hai mặt phẳng cắt nhau :
(P): Ax +By +Cz + D = 0 (1)
(Q): A`x+B`y+C`z+D`=0 (2)
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
3. Phương trình tổng quát
P
Q
(d)
Giải :
M(x,y,z) ? (d) ?
M ?(P) và M? (Q)
? Tọa độ của M thỏa hệ pt
Ax + By + Cz + D = 0 (1)
A`x+B`y+C`z+D` = 0 (2)
M(x,y,z)
?
Với điều kiện : A2+B2+C2 ? 0 và A`2+B`2+C`2 ? 0
?
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
3. Phương trình tổng quát
3.3. Chú ý
Người ta chứng minh được rằng,
Tập hợp tất cả các điểm M(x,y,z) có tọa độ thỏa mãn hệ pt :
là một đường thẳng.
với
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
3. Phương trình tổng quát
3.4. Định nghĩa
Hệ phương trình :
được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian.
với
Chú ý !
Pt đường thẳng trong mặt phẳng
Ax + By + C = 0

Vectơ
chỉ phương ?
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
3. Phương trình tổng quát
Ví dụ
Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1,0,0), B(0,1,0) và C(0,0,1).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết pt tổng quát của đường thẳng (AB)
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
3. Phương trình tổng quát
Ví dụ
Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1,0,0), B(0,1,0) và C(0,0,1).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết pt tổng quát của đường thẳng (AB)
1
C
B
A
1
1
0
x
y
z
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
3. Phương trình tổng quát
Giải :
a) Mặt phẳng (ABC) cắt ba trục tọa độ tại ba điểm khác O, nên (ABC) có pt theo đoạn chắn là :
1
C
B
A
1
1
O
x
y
z
? x + y + z - 1 = 0
a) Viết phương trình (ABC)
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
Giải :
1
C
B
A
1
1
O
x
y
z
? (AB) = (ABC) ? (OAB)
? Mặt phẳng (0AB) qua O và có Vtpt là
Nên có pt là :
0(x-0)+ 0(y-0) + 1.(z-1) = 0
z = 0
Vậy pt tổng quát của (AB) là:
x+y+z-1=0
b)
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (AB)
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
Giải :
1
C
B
A
1
1
0
x
y
z
b)
Cách giải khác ?
Có thể lập pt dạng khác của (AB) không ?
PT
tham số
PT
c.tắc
PT
t.quát
§6. Pt cuûa ñöôøng thaúng trong khoâng gian
4. Chuyển đổi giữa các dạng phương trình
PT
tham số
PT
c.tắc
PT
t.quát
?
Dạng pt : Tham số - Chính tắc - Tổng quát
Cách lập pt từng dạng
Cái gì cần nắm vững ?
Cái gì cần làm ?
Tìm ph.pháp chuyển đổi giữa các dạng pt
Bài tập về nhà
? Bắt buộc : 1, 2, 3, 4, 5 sgk
? Khuyến khích : 6,7,8,9 sgk
Chúc các em
đón một cái tết vui vẻ,
gặp nhiều may mắn
và tràn đầy hạnh phúc
Bài học đã kết thúc rồi.
Tạm biệt
và hẹn gặp lại