Chương III. §3. Phương trình đường thẳng trong không gian

HÌNH HỌC 12
Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách giáo khoa 2008
Click
Bài 3 :
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian cho điểm M0(1;2;3) và 2 điểm M1(1+t;2+t;3+t) ; M2(1+2t;2+2t;3+2t) di động với tham số t . Chứng tỏ rằng 3 điểm đó luôn thẳng hàng .
Giải : Xét
và
Vậy
Chứng tỏ 3 điểm đó thẳng hàng
Định lí :
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận
làm vectơ chỉ phương .Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z)
nằm trên  là có một số thực t sao cho :
Chứng minh : Xét
Điểm M nằm trên  khi và chỉ
khi
cùng phương với
Nghĩa là
hay
Điều đó tương đương với :
Click
Định nghĩa :
Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ
chỉ phương
là phương trình có dạng
(t tham số)
Chú ý : Nếu
a1 ; a2 ; a3 đều khác 0 thì người ta viết phương trình đường thẳng 
dưới dạng chính tắc :
Ví dụ 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M(1;2;3) và có vectơ chỉ phương
Giải :
Ta có phương trình tham số của  :
Ví dụ 2 : Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(1;-2;3) và B(3;0;0)
Giải :
AB có vectơ chỉ phương :
Vậy phương trình tham số của AB là :
Click
Ví dụ 3 : Chứng minh đường thẳng d :
vuông góc với mặt phẳng () : 2x + 4y + 6z + 9 = 0
Giải :
d có vectơ chỉ phương :
() có vectơ pháp tuyến :
Vậy ta có :
Nên d  ()
Cho đường thẳng  có phương trình tham số :
Hãy tìm tọa độ một điểm M trên đường thẳng  và tọa độ một vectơ chỉ phương của 
Ví dụ áp dụng tại lớp :
Giải :
Tọa độ điểm M (-1;3;5)
 có vectơ chỉ phương :
Hỏi :
Các điểm sau có thuộc  không ? Vectơ nào là vectơ chỉ phương của  ?
M1 (-2 ; 6 ; 10)
M2 (1 ; 0 ; 9)
M3 (-3 ; 6 ; 1)
Click
II. Điều kiện để hai đường thẳng song song , cắt nhau , chéo nhau
Cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình tham số , lần lượt là :
và
a) Hãy chứng tỏ điểm M(1;2;3) là điểm chung của d và d’ .
b) Hãy chứng tỏ d và d’ có 2 vectơ chỉ phương không cùng phương /
Giải :
a) Thế tọa độ M vô phương trình d và d’
và
Vậy M là điểm chung của d và d’
b) Tìm vectơ chỉ phương của d và d’
d có vectơ chỉ phương :
d’ có vectơ chỉ phương :
Vậy :
Nên d và d’ không cùng phương :
Click
1. Điều kiện để hai đường thẳng song song :
Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình tham số :
và
M(x0;y0;z0)  d
d song song với d’ khi và chỉ khi :
d trùng với d’ khi và chỉ khi :
d
d’
.
M
Ví dụ 1 : Chứng minh 2 đường thẳng sau đây song song
Giải :
d có vectơ chỉ phương :
và M(1;0;3)  d
d’ có vectơ chỉ phương :
Click
Ví dụ áp dụng : Chứng minh 2 đường thẳng sau đây trùng nhau
* HD : tìm
2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau :
* d cắt với d’ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có đúng 1 nghiệm :
Chú ý : Nếu (1) có nghiệm (t0 ; t0’) để tìm giao điểm M0 của d và d’ ta thay t0 vào phương trình tham số d hoặc t’0 vào d’
Click
Ví dụ 2 : Tìm giao điểm của 2 đường thẳng sau :
Giải :
Xét hệ phương trình :
Vậy có : M(0;-1;4)
3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau :
* d chéo nhau với d’ khi và chỉ khi
không cùng phương
và hệ phương trình sau vô nghiệm
Click
Ví dụ 3 : Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng :
Giải :
Xét hệ phương trình :
Hệ vô nghiệm
Ta có :
Nên d và d’ không cùng phương
Vậy d và d’ chéo nhau
Click
Ví dụ 4 : Chứng minh 2 đường thẳng sau đây vuông góc :
Giải :
d và d’ có vectơ chỉ phương :
Ta có :
Vậy : d  d’
Nhận xét :
Trong không gian Oxyz cho mp () : Ax + By + Cz + D = 0 và đt d :
Xét phương trình : A(x0 + ta1) + B(y0 + ta2) + C(z0 + ta3) + D = 0 (1) t là ẩn
+) Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và () không có điểm chung  d // ()
+) Nếu phương trình (1) có đúng 1 nghiệm t = t0 thì d cắt () tại
M(x0+t0a1 ; y0+t0a2 ; z0+t0a3 ) = d  ()
+) Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc ()
Click
d
 )
d
 )
M
d
 )
Ví dụ áp dụng : Tìm số giao điểm của mp () : x + y + z - 3 = 0 với đt d :
Giải :
thế tọa độ (x ; y ; z) của d vô () , tìm t = ?
+) ta có (2 + t) +(3 - t) + (1) - 3 = 0  0.t = -3 VN  d không cắt ()
+) ta có (1 + 2t) +(1 - t) + (1 - t) - 3 = 0  0.t = 0 VSN  d nằm trong ()
+) ta có (1 + 5t) +(1 - 4t) + (1 +3 t) - 3 = 0  4.t = 0  d  () = M(1;1;1)
Click
III. Củng cố dặn dò :
1. Bài tập trắc nghiệm :
Bài 1 :
Cho đường thẳng  đi qua điểm M(2;0;-1) và có vectơ chỉ phương
Phương trình tham số của đường thẳng  là :
Bài 2 :
Cho đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng :
() : 4x + 3y – 7z + 1 = 0 . Phương trình tham số của d là :
Click
(A) : d1  d2
Bài 3 :
Cho 2 đường thẳng :
Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng ?
(B) : d1 // d2
(C) : d1  d2
(D) : d1 chéo d2
Bài 4 :
Cho mặt phẳng () : 2x + y + 3z + 1 = 0 và đường thẳng d có
phương trình tham số
Tìm mệnh đề đúng ?



(A) : d  ()



(B) : d cắt ()



(C) : d  ()



(D) : d // ()
Click
2. Bài tập :
Bài tập về nhà 1;2;3;4;5;6 ;7;8;9;10 trang 89 ; 90 ; 91 sgk hh12 - 2008
Chúc vạn sự như ý!