Chương III. §2. Tích phân

Định nghĩa tích phân
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là 2 phần tử bất kì của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K
Hiệu số: F(b)-F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).
Kí hiệu là

Ta cũng dùng kí hiệu: để chỉ hiệu số F(b) ? F(a)
Ta có:


Công thức (1) còn được gọi là công thức Niutơn-Lepnít
(1)
ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a,b] thì tích phân là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a và x=b.

Em hãy chọn đáp án đúng trong các đáp án sau :
Kết quả của tích phân là:

A. 0 B. -1

C. Không tồn tại D. 1

Hãy tính tích phân sau
Lời giải
2) tính tích phân j =
=> Hàm số f(x) = |x| là liên tục trên R và f(x) ? 0.
Đồ thị hàm số f(x) = |x| như hình vẽ
khi đó: là diện tích của

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = |x|, trục 0x và 2 đường thẳng x = -1; x=2
=> J là tổng diện tích của 2 tam giác OAB và ?OCD

Mà S ? OAB= và S ? OCD= 2
Tính chất 1:



Tính chất 2:
Chứng minh tính chất
Tính chất 3:

Chứng minh
Ta có: kF(x) cũng là 1 nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K
Suy ra:
Vậy:
Chứng minh tính chất
Tính chất 4:
Chứng minh
Chứng minh tương tự ta có:

Ta có: F(x)+G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x)+g(x) trên K vì [F(x)+G(x)]'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K
G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên khoảng K
Vậy
Ví dụ 1
Cho và
Hãy tính:
Bài giải
ví dụ 2
Em hãy tìm đáp án đúng trong bài toán sau:

Cho biết và
Kết qủa tích phân là:
A. 17 B. 14

C. 16 D. 18
ví dụ 3
Tính tích phân
Lời giải
VÍ DỤ 4
Tính tích phân sau:


I=
Chứng minh tính chất
Tính chất 5:

Chứng minh
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K
Ta có
Khi đó
Vậy
ví dụ 4
Tính tích phân
Lời giải
ví dụ 5
Cho biết: và

Hãy tính:
Lời giải
ví dụ 6
Cho biết: và

Hãy tính:
Lời giải
Mà
Chứng minh tính chất
Tính chất 6: f(x)?0 trên đoạn [a;b] =>

Chứng minh
Ta có: F'(x) =f(x)?0, với mọi x ? [a;b]
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K
Vì vậy: a < b => F(a) ? F(b)
=> F(x) không giảm trên đoạn [a;b]
Nên
Tính chất 7:

f(x) ? g(x) trên đoạn [a;b] =>
Tính chất 8:

m? f(x)?M trên đoạn [a;b] =>
ví dụ 7
Chứng minh rằng
Lời giải
Trên đoạn ta có:
tính chất 9
t biến thiên trên đoạn [a;b] => G(t) = là một nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0
Ví dụ 9

Với mỗi x ? R ta đặt f(x) = . Chứng minh rằng f(x) là một hàm số lẻ
Ta thấy tập xác định của hàm số là: D = R
Giải
Ta có:
Vậy f(x) là một hàm số lẻ
nên với mọi x ? R ta có:
-x ? R và f(-x) = (-x)3=-x3=-f(x)
Các tính chất của tích phân
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K, và a, b, c là 3 điểm bất kỳ thuộc K. Ta có:

Tính chất 1:

Tính chất 2:

Tính chất 3: (với K ? R)

Tính chất 4:

Tính chất 5:

Tính chất 6: f(x) ?0 trên đoạn [a;b] =>

Tính chất 7: f(x) ?g(x) trên đoạn [a;b] =>

Tính chất 8: m ? f(x) ? M, trên đoạn [a;b] => m(b-a)?

Tính chất 9: t biến thiên trên đoạn [a;b] => G(t) = là một nguyên hàm của hàm số f(t) và G(a)=0

Bài tập về nhà
Bài 1: Tìm b, biết rằng:
Bài 2: Tính:
Bài 3: Tính: