Chương III. §2. Tích phân

Chương III
Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Biên soạn :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình sách giáo khoa mới của bộ GD – ĐT 2008
click
(Bài này ở chế độ : on click nên chủ động – xử lý thời gian cho phù hợp)
Bài 2
I - KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong :
Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1 , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1 , x = t ( 1  t  5) . Hình vẽ
O
x
y
1
1
3
t
5
y = 2 x + 1
S(t)
1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5
O
x
y
1
1
3
t
5
y = 2 x + 1
S
2. Tính diện tích S(t) của hình T khi t  [1 ; 5]
3. Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1 với t  [1 ; 5] và diện tích S = S(5) - S(1)
11
click
Giải :
1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5
Diện tích S là :
2. Tính diện tích S(t) của hình T khi t  [1 ; 5]
O
x
y
1
1
3
t
5
y = 2 x + 1
S(t)
2t + 1
Diện tích S(t) là :
Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của
f(t) = 2t + 1 với t  [1 ; 5] và diện tích S = S(5) - S(1)
Chứng minh :
Xét S’(t) = (t2 + t - 2 ) ’ = 2 t + 1 = f(t)
Vậy có :
Xét diện tích : S(5) = 7.4 và S(1) = 3.0 = 0 Vậy S = S(5) - S(1) = 28
click
Cho hàm số y = f(x) liên tục , không đổi dấu trên đoạn [a ; b] . Hình phẳng giới hạn bởi :
Đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành , và hai đường thẳng x = a ; x = b được gọi là hình thang cong
O
y
a
f(a)
b
y = f(x)
f(b)
x
Bây giờ xét một đường cong kín bất kỳ Hình D thì ta chia hình đó (hình vẽ)
Bằng cách kẻ các đường thẳng song song với các trục tọa độ , chia D thành những hình thang cong .Dẫn đến tính diện tích các hình thang cong .
click
Ví dụ 1 :
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 ; x = 1
Giải :
Với mỗi x  [0 ; 1]
O
y
x
1
1
y = x2
x
S(x)
Gọi S(x) là diện tích của phần hình thang cong đã cho nằm
giữa 2 đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 0 và x . Ta chứng minh : S’(x) = x 2 x[0;1]
O
y
x
1
1
y = x2
x
Thật vậy với h > 0 , x + h < 1 và kí hiệu : SMNPQ và SMNEF là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF . Ta có SMNPQ  S(x+h) - S(x)  SMNEF hay hx2  S(x+h) - S(x)  h(x+h)2
x+h
M
N
Q
P
E
F
Vậy có :
Và với h < 0 ; x +h > 0 . Tính toán tương tự cũng có
Tóm lại với mọi h ≠ 0 thì :
Suy ra :
Cũng có S’(0) = 0 ; S’(1) = 1
click
Do đó S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 trên đoạn [0 ; 1] .
Mặt khác trên đọan đó F(x) =
Cũng là một nguyên hàm của f(x) = x2 nên
Với giả thiết S(0) = 0 nên suy ra C = 0 . Vậy :
Thay x = 1 vào ta có : diện tích cần tìm là : S(1) =
Bây giờ xét một đường cong bất kỳ , biễu diễn bằng (hình vẽ)
O
y
a
f(a)
b
y = f(x)
f(b)
x
x
S(x)
Kí hiệu : S(x) là diện tích hình thang cong .
Ta chứng minh được : S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a ; b]
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì có hằng số C
Sao cho : S(x) = F(x) + C
Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = - F(a)
Vậy S(x) = F(x) – F(a)
Thay x = b vào có : S(b) = F(b) – F(a)
click
2. Định nghĩa tích phân :
Giả sử f(x) là hàm liên tục trên đoạn [a ; b] . F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x) . Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a) tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm )
Định nghĩa :
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đọan [a ; b] .
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b ( hay gọi là tích phân xác định trên đoạn [a ; b] của hàm số f(x)) .

Kí hiệu là :

Ta gọi
là dấu tích phân , a là cận dưới , b là cận trên
f(x) dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân .
Chú ý : Trong trường hợp a = b hay a > b , ta quy ước :
click
Ví dụ 2 :
Tính :
Nhận xét :
a) Tích phân chỉ phụ thuộc vào f và các cận a , b ; không phụ thuộc vào biến số x . :
b) Ý nghĩa hình học của tích phân :
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b] , thì tích phân
là diện
tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị f(x) , trục Ox và hai đường x = a ; x = b . Vậy
click
II - TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Tính chất 1 :
( k là hằng số )
Tính chất 2 :
Tự chứng minh các tính chất này :
Ví dụ 3 :
Tính :
Giải :
Ta có :
click
Tính chất 3 :
( a < c < b )
Chứng minh :
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b] . Khi đó , F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên mỗi đoạn [a ; c} và [c ; b]
Do đó ta có :
Ví dụ 4 :
Tính :
Giải :
Ta có :
Vì :
nên :
click
II I- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số :
Cho tích phân :
a) Tìm I bằng cách khai triển (2x + 1) 2
b) Đặt u = 2x + 1 . Biến đổi biểu thức (2x + 1) 2 dx thành g(u).du
c) Tính
và so sánh kết quả của I trong câu 1.
Giải :
a) Tìm I bằng cách khai triển (2x + 1) 2
b) Đặt u = 2x + 1 . Biến đổi biểu thức (2x + 1) 2 dx thành g(u).du
Ta có :
Vậy :
c) Tính
Ta có : u(0) = 1 ; u(1) = 3 nên
click
Định lý :
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] . Giả sử x =  (t) có đạo hàm liên tục trên đoan [ ; ] sao cho  () = a ;  () = b và a  (t)  b với mọi t  [ ; ]

Khi đó :

Ví dụ 5 :
Tính :
Giải :
Đặt : x = tan t 
Ta có
Khi x = 0 thì t = 0 ; khi x = 1 thì t =
Do đó
Chú ý : Trong nhiều trường hợp còn dùng phép đổi biến số dạng sau :
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Để tính
đôi khi chọn hàm số
U = u(x) làm biến số mới , trong đó trên đoạn [a ; b] , u(x) có đạo hàm liên tục trên u(x)  [ ; ] . Giả sử có thể viết : f(x) = g(u(x)).u’(x) với x  [a ; b]n , g(u) liên tục
trên đoan [ ; ] . Khi đó có :
click
Ví dụ 6 :
Tính :
Giải :
Đặt : u = sin x  u’ = cos x
Khi x= 0 thì u(0) = 0 ; khi x =
thì
Vậy
Ví dụ 7 :
Tính :
Giải :
Đặt : u = 1 + x2  u’ = 2x ; u(0) = 1 ; u(1) = 2 nên có :
click
2. Phương pháp tính tích phân từng phần :
a) Hãy tính
bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
b) Từ đó tính
Giải :
a) Hãy tính
Đặt : u = x + 1  du = dx
dv = ex dx  v = ex
nên
b) Từ đó tính
Từ a) có :
Định lý :
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] . Thì :






hay
click
Ví dụ 8 :
Tính :
Giải :
Đặt : u = x và dv = sin x.dx  du = d x và v = - cos x
Vậy có :
Ví dụ 9 :
Tính :
Giải :
Đặt : u = lnx và
Có
nên
click
Ví dụ trắc nghiệm :
a) Cho 2 tích phân
Hãy chỉ ra khẳng định đúng :
A
B
C
D
b) Tích phân :
bằng :
M
N
P
Q
Không so sánh được
3. Bài tập về nhà :
Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 trang 112 và 113 sách giáo khoa GT12-2008