Chương III. §2. Tích phân

KIỂM TRA BÀI CŨ
Cho hàm số y = f(t) = 2t + 1
1.Tìm họ nguyên hàm F(t) của hàm số đó .
2.Tính F(5) – F(1).
Đáp án
Họ nguyên hàm của hàm số f(t) là F(t) = t2 + t + C , C R.
2. Ta có F(5) – F(1) = 25 +5 + C – 1 – 1 – C = 28
TÍCH PHÂN
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
Gọi T hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y =2x + 1 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 , x = t ( 1  t  5 ) .
Tính diện tích S của hình thang T khi t = 5
2. Tính diện tích S(t) của hình thang T khi t [ 1 ; 5]
3. Chứng minh rằng :
S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1 , t [1 ; 5].
1. Diện tích hình thang cong
Hoạt động 1
gsp
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
BÀI 2
Graph
Cho hàm số y = f(x) lên tục , không đổi dấu trên đoạn [ a ; b ].
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x) , trục hoành và
Hai đường thẳng x = a , x = b được gọi là hình thang cong .
gsp2
TÍCH PHÂN
BÀI 2
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
TÍCH PHÂN
BÀI 2
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
Hình phẳng trên đây có phải là một hình thang cong
theo định nghĩa trên không ?
gsp
Ví dụ 1
Cho hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 1 .
1.Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số đã cho .
2. Tính F(1) – F(0) .
3.Tính diện tích S của hình phẳng đó .
Hình thang cong sau được giới hạn bởi các đường nào ?
gsp
Hình thang cong như thế còn gọi là hình tam giác cong .
TÍCH PHÂN
BÀI 2
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
Gọi S(x) là diện tích của hình thang cong này .
Trả lời
Họ nguyên hàm của hàm số y = x2 là :
TÍCH PHÂN
BÀI 2
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
Tính S(0)
Tính S(1)
Graph
gsp
TÍCH PHÂN
BÀI 2
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
Gọi S(x) là diện tích của hình thang cong này .
S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 .
Người ta chứng minh được S’(x) = x2 , x [0 ; 1 ]
Diện tích S(x) của hình thang cong đã cho là một hàm số theo x
và S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 trên [ 0 ; 1 ].
Tính S(x)
TÍCH PHÂN
BÀI 2
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
Ví dụ
S(3) = 9
Cho hàm số y = f(x) lên tục , không đổi dấu trên đoạn [ a ; b ].
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x) , trục hoành và
hai đường thẳng x = a , x = b được gọi là hình thang cong .
Với mỗi x  [ a ; b ] , kí hiệu S(x) của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox lần lượt tại a và tại x .
Ta cũng chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b ] .
gsp
TÍCH PHÂN
BÀI 2
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NiỆM TÍCH
PHÂN
S(a) = 0
TÍCH PHÂN
BÀI 2
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NiỆM TÍCH
PHÂN
Chứng minh rằng :
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn
[a ; b] thì sao S(b) = F(b) – F(a) .
Vì F(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên
ta có
S(x) = F(x) + C , với C là một hằng số thực .
Mà S(a) = 0 , do đó S(a) = F(a) + C = 0
Suy ra C = - F(a)
Vậy S(b) = F(b) – F(a) .
Với mỗi x  [ a ; b ] , kí hiệu S(x) của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox lần lượt tại a và tại x .
Graph
2. Định nghĩa tích phân
?2
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b ] .
F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x) .
Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a)
TÍCH PHÂN
BÀI 2
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
Với mỗi x  [a ; b] ,gọi S(x) là diện tích của hình thang cong đã cho giới bởi đồ thị của f(x) , trục hoành và các đường thẳng vuông góc với trục hoành tại a và tại x .
Vì F( x) và G(x) là các nguyên hàm của hàm số f(x)
trên đoạn [a ; b] nên ta có :
S(b) = F(b) – F(a)
S(b) = G(b) – G(a)
Do đó F(b) – F(a) = G(b) – G(a) .
I. KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
Định nghĩa :
f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân
f(x) là hàm số dưới dấu tích phân .
Chú ý :
TÍCH PHÂN
BÀI 2
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
I. KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
Định nghĩa :
Ví dụ 2
Giải
TÍCH PHÂN
BÀI 2
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NiỆM TÍCH
PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
I. KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
TÍCH PHÂN
BÀI 2
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NiỆM TÍCH
PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
Ví dụ 3
Tính các tích phân sau :
1 /

Giải
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
TÍCH PHÂN
BÀI 2
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
Nhận xét :
a/ Tích phân của một hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào quy tắc f và các cận a , b mà không phụ thuộc vào kí hiệu biến x , t .

b/ Ý nghĩa hình học của tích phân .
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b ] ,thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạnbởi đồ thị của f(x) , trục Ox và hai đường thẳng
x = a ; x = b .
TÍCH PHÂN
BÀI 2
Nội dung
1.Diện tích hình thang
cong
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
2. Định nghĩa tích phân
S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
Củng cố :
Sử dụng ý nghĩa của tích phân hãy tính diện tích hình thang cong bên .
Giải :
Hình thang cong trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 1 , x = 2 .
Do đó diện tích S của hình thang cong trên là :

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
Học khái niệm hình thang cong , diện tích hình thang cong.
Học định nghĩa tích phân xác định , các kí hiệu và cách đọc các
kí hiệu đó ; cách tính tích phân ; xem lại các ví dụ .
3. Ý nghĩa hình học của tích phân .
4. Làm bài tập 1 , 2 SGK .
KÍNH CHÚC BAN GIÁM KHẢO
VÀ QUÝ THẦY CÔ
MẠNH KHOẺ , HẠNH PHÚC