Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

Sở giáo dục và Đào tạo hảI phòng
Trường thpt bán công thủy nguyên
Nhiệt liệt chào mừng
Các thầy cô giáo tới dự hội giảng
Trường thpt bán công thủy nguyên
Giáo án giảng dạy

Môn : Toán - Hình học .
Lớp : 12.
Giáo viên : Đinh Ngọc Thuần

Bài 4 :

phương trình tổng quát của mặt phẳng
( Tiết 1)
Câu hỏi 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Cho biết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm Mo= (xo, yo) và có 1 vectơ pháp tuyến n =(A,B).
Câu hỏi 2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm
P(1,-1,0); Q(2,0,-2); R(3,1,-2).
a/ Chứng minh 3 điểm P,Q,R lập thành một tam giác.
b/ Cho điểm M(-3,-5,0). Chứng minh M đồng phẳng với
P,Q,R.
Đáp án 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm Mo= (xo, yo) và có 1 vectơ pháp tuyến n =(A,B) là .
(?) A(x-xo) + B(y-yo) = 0. (A2 + B2 ? 0)
? Ax + By + C = 0 Với C =-Axo-Byo
(?)
n
•
M0 (xo, yo)
•
M (x, y)
Đáp án 2: a/
Ta có :
Vậy 3 điểm P,Q,R không thẳng hàng, hay P,Q,R lập thành một tam giác.
b/ Ta có :
Vậy 3 vectơ : đồng phẳng. Suy ra 4 điểm
P,Q,R,M đồng phẳng.
()
P
Q
R
M(x,y,z)
n =(A,B,C)
Điều kiện để điểm M(x,y,z)
di động trong không gian thuộc mp (?) là gì ?
()
P
Q
R
M(x,y,z)
n =(A,B,C)
Điều kiện để điểm M(x,y,z)
di động trong không gian thuộc mp (?) là gì ?
Điều kiện là : PM ? n ? PM . n =0
()
P
Q
R
n =(A,B,C)
(?)
n =(A,B)
•
Mo (xo, yo)
•
M(x, y)
Do MoM? n ? MoM . n =0 ? A(x-xo) + B(y-yo) = 0. ? Ax + By + C = 0 Với C =-Axo-Byo
1.
2.
Do PM ? n ? PM . n =0
M(x,y,z)
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
?
Mo
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
?
Mo
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
?
Mo
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
?
Mo
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
? Nhận xét :
- Nếu vectơ n là vectơ pháp tuyến, thì vectơ k n ( k ? 0) cũng là vectơ pháp tuyến.
?
Mo
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
? Nhận xét :
- Nếu vectơ n là vectơ pháp tuyến, thì vectơ k n ( k ? 0) cũng là vectơ pháp tuyến.
?
Mo
?
M
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
? Nhận xét :
- Nếu vectơ n là vectơ pháp tuyến, thì vectơ k n ( k ? 0) cũng là vectơ pháp tuyến.
- Mặt phẳng (? ) hoàn toàn xác định khi biết một điểm thuộc nó, và một vectơ pháp tuyến của nó.
?
Mo
?
M
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
u
v
n
(? )
v
u
b/ Chú ý :
u
v
(? )
v
u
- Nếu u = (x1 , y1 , z1), v = (x2 , y2 , z2) là 2 vectơ không cùng phương, và 2 đường thẳng chứa chúng song song ( hoặc nằm trên) mặt phẳng (?) thì vectơ :
a
b
n
b/ Chú ý :
u
v
(? )
v
u
- Nếu u = (x1 , y1 , z1), v = (x2 , y2 , z2) là 2 vectơ không cùng phương, và 2 đường thẳng chứa chúng song song ( hoặc nằm trên) mặt phẳng (?) thì vectơ :
a
b
n = [u , v ] =
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?) ( u , v còn được gọi là một cặp vectơ chỉ phương của (?) ).
n
u
v
(? )
(? )
(?)
u
v
(? )
(? )
(?)
n
1. n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
u
v
(? )
(? )
(?)
n
1. n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
u
(? )
(? )
M ?
N?

u
v
(? )
(? )
(?)
n
1. n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
u
(? )
(? )
n
M
N
2. n = [MN , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
u
v
(? )
(? )
(?)
n
1. n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
u
(? )
(? )
n
M
N
2. n = [MN , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
(? )
(? )
(? )
u
v
u
v
(? )
(? )
(?)
n
1. n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
u
(? )
(? )
n
M
N
2. n = [MN , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
(? )
(? )
(? )
u
v
n
3 n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Trong không gian cho mặt phẳng Oxyz. a/ Định lí : Mỗi mặt phẳng là tập hợp các điểm có toạ độ (x,y,z) thoả mãn một phương trình dạng : (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ).
Ngược lại : tập hợp các điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng
(? )
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Trong không gian cho mặt phẳng Oxyz. a/ Định lí : Mỗi mặt phẳng là tập hợp các điểm có toạ độ (x,y,z) thoả mãn một phương trình dạng : (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ).
?
Mo
M
(xo , yo , zo)
(x , y , z)
Ngược lại : tập hợp các điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng
n
(A , B , C)
(? )
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Trong không gian cho mặt phẳng Oxyz. a/ Định lí : Mỗi mặt phẳng là tập hợp các điểm có toạ độ (x,y,z) thoả mãn một phương trình dạng : (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ).
?
Mo
M
(xo , yo , zo)
(x , y , z)
Ngược lại : tập hợp các điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng
CM : ? ) Giả sử mặt phẳng (?)
qua Mo và có vectơ pháp tuyến
là n .
n
(A , B , C)
(? )
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Trong không gian cho mặt phẳng Oxyz. a/ Định lí : Mỗi mặt phẳng là tập hợp các điểm có toạ độ (x,y,z) thoả mãn một phương trình dạng : (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ).
?
Mo
M
(xo , yo , zo)
(x , y , z)
Ngược lại : tập hợp các điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng
CM : ? ) Giả sử mặt phẳng (?)
qua Mo và có vectơ pháp tuyến
là n ,
n
(A , B , C)
Lấy M (x , y , z) . Ta có : M? (?) ? MoM ? n ? MoM . n = 0
? A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo ) = 0.
? Ax + By + Cz - (Axo + Byo + Czo ) = 0 Đặt D= - (Axo + Byo + Czo )
? Ax + By + Cz + D = 0 ( Dạng * )
CM : ? )
Ngược lại : Cho phương trình (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ). Ta CM tập hợp những điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng.
(? )
n
?
Mo
M
(xo , yo , zo)
(x , y , z)
(A , B , C)
CM : ? )
Ngược lại : Cho phương trình (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ). Ta CM tập hợp những điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng.
(? )
n
?
Mo
M
(xo , yo , zo)
(x , y , z)
Thật vậy: Cố định điểm Mo(0,0,-D/C) thoả mãn (*), (giả sử C ? 0) và n = (A,B,C). Ta lấy M(x,y,z) bất kì thoả mãn (*).
(A , B , C)
CM : ? )
Ngược lại : Cho phương trình (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ). Ta CM tập hợp những điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng.
(? )
n
?
Mo
M
(xo , yo , zo)
(x , y , z)
Thật vậy: Cố định điểm Mo(0,0,-D/C) thoả mãn (*), (giả sử C ? 0) và n = (A,B,C). Ta lấy M(x,y,z) bất kì thoả mãn (*).
(A , B , C)
Khi đó : MoM . n = Ax + By + C(z + D/C) = Ax + By + Cz + D = 0 Vậy M thuộc mặt phẳng (?) qua Mo và nhận n là vectơ pháp tuyến.
b/ Định nghĩa : Phương trình dạng : (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
b/ Định nghĩa : Phương trình dạng : (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
c/ Chú ý : - Nếu mặt phẳng (?) qua Mo(xo,yo,zo) và có một vectơ pháp tuyến là n = (A,B,C) thì phương trình của nó là:


. Nếu mặt phẳng (?) có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 thì vectơ n = (A,B,C) là một vectơ pháp tuyến của (?) .
A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo ) = 0.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 2 điểm : M=(2 ,-1/2 , 0) ; N = (0, 5/2 , 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực (?) của đoạn thẳng MN.
LG:
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 2 điểm : M=(2 ,-1/2 , 0) ; N = (0, 5/2 , 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực (?) của đoạn thẳng MN.
LG:
N
M
I
(?)
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 2 điểm : M=(2 ,-1/2 , 0) ; N = (0, 5/2 , 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực (?) của đoạn thẳng MN.
LG:
Ta có : Mặt phẳng (?) đi qua trung điểm I=(1,1,0) và nhận vectơ MN = (-2,3,0) là vectơ pháp tuyến. Suy ra phương trình (?) là :
- 2(x-1)+3(y-1)+0 = 0 ? 2x-3y+1 = 0.


N
M
I
(?)
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 2 điểm : M=(2 ,-1/2 , 0) ; N = (0, 5/2 , 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực (?) của đoạn thẳng MN.
LG:
Ta có : Mặt phẳng (?) đi qua trung điểm I=(1,1,0) và nhận vectơ MN = (-2,3,0) là vectơ pháp tuyến. Suy ra phương trình (?) là :
- 2(x-1)+3(y-1)+0 = 0 ? 2x-3y+1 = 0.


O
?
z
(0,0,1) k
N
M
I
(?)
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm : A(1,2,-2) ; B(-1,0,-2) ; C(3,-1,-2) . Lập phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C.
LG:
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm : A(1,2,-2) ; B(-1,0,-2) ; C(3,-1,-2) . Lập phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C.
LG:
()
A
B
C
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm : A(1,2,-2) ; B(-1,0,-2) ; C(3,-1,-2) . Lập phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C.
LG:
()
A
B
C
Ta có : AB=(-2,-2,0) AC=(2, -3,0)
n= [AB,AC] = (0,0,10) Mặt phẳng (?) đi qua A(1,2,-2) và nhận n là vectơ pháp tuyến. Suy ra phương trình (?) là :
z + 2 = 0


Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm : A(1,2,-2) ; B(-1,0,-2) ; C(3,-1,-2) . Lập phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C.
LG:
()
A
B
C
n
O
y
x
Ta có : AB=(-2,-2,0) AC=(2, -3,0)
n= [AB,AC] = (0,0,10) Mặt phẳng (?) đi qua A(1,2,-2) và nhận n là vectơ pháp tuyến. Suy ra phương trình (?) là :
z + 2 = 0


Tổng kết :
u
v
n
(? )
v
u
- Nếu u = (x1 , y1 , z1), v = (x2 , y2 , z2) là 2 vectơ không cùng phương, và 2 đường thẳng chứa chúng song song ( hoặc nằm trên) mặt phẳng (?) thì vectơ :
a
b
n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của (?)
A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo ) = 0.
- Nếu mặt phẳng (?) qua Mo(xo,yo,zo) và có một vectơ pháp tuyến là n = (A,B,C) thì phương trình của nó là:

()
Mo (xo, yo,z0)
n =(A,B,C)
(?)
n =(A,B)
•
M (xo, yo)
•
N (x, y)
(?) A(x-x0)+B(y-yo) =0 (A2 + B2 ? 0)
Phương trình mặt phẳnh thẳng trong hệ toạ độ Oxyz
•
Phương trình đường thẳng trong hệ toạ độ Oxy
(?) A(x-x0)+B(y-yo)+C(z-zo) =0
Với (A2 + B2+ C2 ? 0)
? Ax + By + Cz + D = 0.
? Ax + By + C = 0.
Bài tập về nhà :
? Bài tập sách giáo khoa : 2,3,5,8 / trang 82,83
? Bài tập làm thêm :
1. Cho 2 mặt phẳng :
(?) : 2x + y - 3z + 1 = 0
(? ) : -x +4 y + 1 = 0
và điểm M=(0,-4,1).
Lập phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với
(?) và (? )
cHúc các thầy cô giáo
năm mới
an khang - thịnh vượng
Đinh ngọc thuần - thpt bctn - Hải Phòng 2003
cHúc các thầy cô giáo
năm mới
an khang - thịnh vượng
Đinh ngọc thuần - thpt bctn - Hải Phòng 2003