Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

Tiết 39 ? 40. phương trình tổng quát của mặt phẳng. bài tập
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
4. Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát.
5. Bài tập.
3. Ví dụ.
Một số quy định
Một số quy định
*/ Phần cần phải ghi vào vở:
- Các đề mục.
- Khi nào xuất hiện biểu tượng
*/ Tập trung trong khi thảo luận nhóm .


1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a. Định nghĩa: ( SGK)
Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của

mặt phẳng
Vậy, mỗi mặt phẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến, chúng có mối quan hệ với nhau như thế nào ?

Giả sử là một điểm của mặt phẳng điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc mặt phẳng là
Giả sử là một điểm của mặt phẳng thì điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc là gì?

Vậy một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi nào?
Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết một điểm thuộc nó và một vectơ pháp tuyến của nó.

b. Chú ý: (SGK)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz nếu và là hai vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song với (hoặc nằm trên) một mặt phẳng thì
Là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Hai vectơ nói trên gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Vậy, nếu là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng thì các vectơ là một cặp vectơ chỉ phương của
và do đó vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
a. Định lí: (SGK)
Giả sử là mặt phẳng đi qua điểm và có 1 vtpt . Vì nên . Khi đó:
Đặt thì phương trình (*) có dạng:
với
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
a. Định lí: (SGK)
Ngược lại, cho phương trình với
Ta lấy điểm mà
(chẳng hạn nếu lấy )
Gọi là mặt phẳng đi qua điểm và có 1 vtpt thì theo trên, mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có toạ độ (x;y;z) thoả mãn:
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
a. Định lí: (SGK)
b. Định nghĩa:

Phương trình dạng được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng (hay đơn giản là phương trình mặt phẳng)
c. Chú ý:
Qua định lí, hãy cho biết PT của mặt phẳng đi qua điểm và có một vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng đi qua điểm và có một vectơ pháp tuyến thì phương trình của nó:
Nếu là mặt phẳng có phương trình thì là một vectơ pháp tuyến của nó.
Qua định lí, hãy cho biết nếu
PT của mặt phẳng là: thì khi đó toạ độ một vectơ pháp tuyến của MP là gì?
3. Ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxyz cho điểm A(0;1;1), B(1;-2;0), C(1;0;2). Lập phương trình
mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
Giải:

Muốn xác định phương trình mặt phẳng ta cần phải biết những yếu tố gì?
Mặt phẳng cần tìm có cặp vectơ chỉ phương

Nên một vectơ pháp tuyến:
Mặt phẳng (ABC) cần tìm:
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxyz cho điểm A(1;-2;3), B(-5;0;1). Lập phương trình
mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB.
Mặt phẳng trung trực là gì?
Giải:

Gọi I là trung điểm của AB
Mặt phẳng trung trực (P) của AB đi qua I và vuông góc với AB nên nhận là vectơ pháp tuyến có PT là:
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxyz cho điểm A(1;0;-3). Lập phương trình mặt phẳng qua A
và song song với mặt phẳng (Q): 3x ? 2y + z + 7 = 0
Hãy xét vị trí tương đối của A với mặt phẳng (Q) ?
Giải:

Ta có: 3.1 ? 2.0 + (-3) + 7 = 7
Chứng tỏ điểm A không nằm trên mặt phẳng (Q).
Mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (Q) nên nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: