Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

Nhiệt liệt Chào mừng
các thầy, cô giáo đến tham dự giờ học !
Tiết39: phương trình tổng quát
của mặt phẳng
M0
M
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
a. Định nghĩa:
Véc tơ n khác véc tơ 0 được gọi là 1 véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (?) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (?)
Ký hiệu:
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
a. Định nghĩa:
Véc tơ n khác véc tơ 0 được gọi là 1 véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (?) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (?)
Ký hiệu:
Ví dụ:Quan sát hình vẽ và chọn phương án đúng









A.Chỉ véc tơ n là VTPT của mp(?)
B. Chỉ véc tơ m là VTPT của mp(?)
C.Cả n, m đều là VTPT của mp(?)
D.Cả 3 véc tơ n, m, p đều là VTPT của mp (?)
Một mp có vô số VTPT, các véctơ nàycùng phương với nhau
?
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Cho M0 là 1 điểm của mp(?),
là một VTPT của mp(?),
Hãy tìm điều kiện để điểm M thuộc mặt phẳng (?)
M0
Mặt phẳng (?) hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm thuộc nó và một vectơ pháp tuyến của nó.
?
M
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Bằng trực quan em có nhận xét gì về quan hệ giữa vectơ a, vectơ b và (?)?
?
Hai vectơ không cùng phương và cùng song hoặc nằm trên (?)
Hai véc tơ a , b nói trên được gọi là cặp véc tơ chỉ phương của mp(?)
a
b
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Em hãy cho biết hình nào mặt phẳng (?) có cặp vectơ chỉ phương?
Đáp số: Hình 2 và hình 3
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Đặt
Em có nhận xét gì về quan hệ giữa véc tơ n với véc tơ a và b ?
a
b
n
Ta có:
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
b) Chú ý:
?
?
?
Vậy nếu A, B, C là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng (?) thì
n =[AB,AC] là 1 VTPT của mp(?)

Hai véc tơ a , b không cùng phương,đường thẳng chứa chúng // với (hoặc nằm trên) mp(?) được gọi là cặp véc tơ chỉ phương của mp(?)
n =[a , b] Là 1 VTPT của mp(?)
a
b
n
n
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a. Bài toán:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (?).
M0
M0(x0;y0;z0) ? (?), =(A,B,C) ? 0là 1 VTPT của mp (?)
Tìm điều kiện để điểm M ? (?)
M
Giải:
Giả sử M = (x; y; z), M ? (?)
? A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 (*)
Khai triển rồi đặt D = -(Ax0 + By0 + Cz0) ta được phương trình:
Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(Với A2+B2+C2?0)
n
n
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
*Định lí: Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có toạ độ (x,y,z) thoả mãn 1 phương trình dạng
Ax + By +Cz +D = 0 với A2+ B2+C2? 0 (1)
Ngược lại ,tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn pt (1) là 1 mp
b) Định nghĩa
Phương trình dạng: Ax + By +Cz +D = 0 với A2 + B2 + C2 ? 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
c) Chú ý
?
Nếu mặt phẳng (?) qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vtpt
thì phương trình của nó là:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
?
Nếu mặt phẳng (?) là mặt phẳng có phương trình:
Ax + By + Cz + D = 0 thì (A,B,C) là một vtpt của nó.
n
(A,B,C)
n
Ví dụ
Tóm tắt
?
Nếu mặt phẳng (?) qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vtpt
thì phương trình của nó là:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
?
Nếu mặt phẳng (?) là mặt phẳng có phươg trình:
Ax + By + Cz + D = 0 thì là một vtpt của nó.
Ví dụ 1:
Viết phương trình mặt phẳng qua điểm P = (1; -2 ; 3) và song song với mặt phẳng 2x - 3y + z + 5 = 0.
P
2x - 3y + z + 5 = 0
Giải
Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x - 3y + z + 5 = 0 nên nó có một vtpt là:
Vậy phương trình của nó là:
2(x - 1) - 3(y + 2) + z - 3 = 0.
hay 2x - 3y + z - 11 = 0
3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát
Cho mp(?) : Ax+By+Cz+D=0(1)
*Nếu D=0
*Nếu A=0,B?0,C?0
B=0,A?0,C?0
C=0,B?0,A?0
*Nếu A=B=0, C?0
*Nếu A,B,C,D ? 0 ta đặt a=-D/A; b=-D/B; c=-D/C khi đó pt(1) sẽ có dạng
Mặt phẳng đó cắt Ox,Oy, Oz tại các điểm (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c).Bởi
vậy pt dạng đó được gọi là phương trình đoạn chắn của mp
*mp (?) đi qua gốc toạ độ
*mp (?) song song hoặc chứa Ox
mp (?) song song hoặc chứa Oy
mp (?) song song hoặc chứa Oz
*mp (?) song song hoặc trùng mp(Oxy)


3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát
Em hãy lựa chọn phương trình mặt phẳng ở cột A sao cho phù hợp với kết luận ở cột B:
3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát
Em hãy cho biết trong các PT sau, PT nào là PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A=(1; 0; 0), B=(0; -2; 0) và C= (0; 0; 5):
Ví dụ
Ví dụ 2:
Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm
P = (1; 0; 0), Q = (0; 2: 0) và R = (0; 0; 3)
Giải
Mặt phẳng (PQR) có vectơ pháp tuyến là:
=(6; 3; 2)
và đi qua điểm P nên có phương trình là:
6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0 ?
6x + 3y + 2z - 6 = 0.
Cách 2:
Mặt phẳng (PQR) có pt theo đoạn chắn là:
Hay 6x + 3y + 2z - 6 = 0.
*Mặt phẳng cắt Ox,Oy, Oz tại các điểm (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) có pt dạng
Tóm tắt
* A, B, C là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng (?) thì
n =[AB,AC] là 1 VTPT của mp(?)

Cách 1:
Ví dụ 3:
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, biết A = (1;3;-2), B = (1; 2; 1)
Giải
Ví dụ
A
B
I
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và vuông góc với đường thẳng AB nên có thể chọn:
làm vtpt pháp tuyến của nó. Vậy PT của nó là:
hay - y + 3z + 4 = 0.
Củng cố:
Trong bài này các em cần nắm được
*Khái niệm véc tơ pháp tuyến của mp
*Khái niệm về cặp véc tơ chỉ phương của mp
*Định nghĩa PTTQ của mặt phẳng ,các trường hợp riêng của PTMP
*Biết cách viết PTMP trong 1 số trường hợp
Bài tập về nhà:Bài tập SGK trang 82,83.

Xin chân thành cảm ơn các Thầy,Cô và các em học sinh!
Chọn M0=(x0,y0,z0) thoả mãn pt (1)
Đặt n=(A,B,C) ta thấy
n? 0.
Dễ thấy pt (1) là pt mặt phẳng đi qua M0 và nhận n làm VTPT