Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

Sở giáo dục và đào tạo hải phòng
Trường thpt bán công vĩnh bảo
======***======


Môn: Toán lớp 12
Tiết dạy: 39
phương trình tổng quát của mặt phẳng

Giáo viên: Vũ Phú Bình

Vĩnh Bảo, tháng 3 năm 2005
e. Nếu [ a, b ] c = 0 thì a, b, c cùng phương.
Đ
S
Đ
S
Đ
1.Câu hỏi kiểm tra:
Các mệnh đề sau đúng hay sai ?
a. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng (?) đi qua điểm M0 và
vuông góc với đường thẳng d cho trước.
b. Cã v« sè ®­êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng cho tr­íc.
a. Định nghĩa: Véctơ n ? 0 được gọi là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (?) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (?). (Gọi tắt là véctơ vuông góc với mặt phẳng (?) ).
Ký hiệu: n ? (?)

1. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:
Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng





α
Câu hỏi : Một mặt phẳng có bao nhiêu véctơ pháp tuyến? Vì sao?





α
Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng
Nhận xét 2: Một mặt phẳng (?) hoàn toàn được xác định khi biết
một điểm thuộc nó và một véctơ pháp tuyến của nó.



α
M0
#
Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng
b. Chú ý:
+ Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho véctơ a và b không cùng phương các đường thẳng chứa chúng cùng song song hoặc nằm trên mặt phẳng (?) thì cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (?), khi đó hai véctơ a và b được gọi là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng (?).







Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng
α.
+ Nếu trong mặt phẳng (?) cho ba điểm M1, M2 và M3 không thẳng hàng thì hai véctơ M1M2 và M1M3 là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng (?) và = [M1M2, M1M3] là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (?).

α
Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng
M1 #
M2#
M3
#
Ví dụ: Trong không gian với hệ trục oxyz. Cho các véctơ sau:
Hãy chỉ ra các véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy.
x
0
z
y
5. = (0 ; 1 ; 1)
Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng
Đáp án
Cho mặt phẳng (?) đi qua điểm M0 = (xo; yo; zo) và có véctơ pháp tuyến n = (A; B ; C). Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M = (x; y ; z) thuộc mặt phẳng (?).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a. Bài toán:
Với D = - (Ax0 + By0 + Cz0)
Giải:
? A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0
? Ax + By + Cz - (Ax0 + By0 + Cz0) = 0
? Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 ? 0)
Ax + By + Cz + D = 0 thì = (A; B; C ) là một véctơ pháp tuyến của nó.
b. Định lý:
Mỗi mặt phẳng là tập hợp các điểm có toạ độ (x ; y ; z) thoả mãn phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 ? 0) (1)
Ngược lại tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn phương trình (1) là một mặt phẳng.

c. Định nghĩa:
Phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 ? 0) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
d. Chú ý:
A (x-xo) + B (y-yo) + C (z-zo) = 0
#MÆt ph¼ng (α) cã ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t lµ :
? x + 3y + z = 0
Ví dụ:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (?) đi qua điểm
M(2; 1;-5) và song song với mặt phẳng (?): x + 3y + z - 5 = 0.
Giải
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (?) là
(?): 1(x-2) + 3(y-1) + 1(z+5) = 0
M#
a. D = 0 thì phương trình mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz = 0
là phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ.
b. Nếu A = 0, B ? 0, C ? 0 thì phương trình mặt phẳng có dạng: By + Cz + D = 0 là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox.
3. Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát.
c. Nếu A = 0, B = 0, C ? 0 thì phương trình mặt phẳng có dạng Cz + D = 0 là mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy.



Vi dụ 1:
Trong không gian với hệ trục 0xyz cho 3 điểm A (1;2;3), B (-1; 0; 2),
C (3; 2; 5). Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.
Giải:
=> phương trình (?):
4(x-1) - 2(y -2) - 4(z - 3) = 0
? 2x - y - 2z + 6 = 0.
Ví dụ 2:
Trong không gian với hệ trục 0xyz cho 2 điểm M = (2;-1;1), N (4;3;1).
Lập phương trình mặt phẳng trung trực (?) của đoạn thẳng MN.
Giải:

2(x-3) + 4(y-1) + 0(z-1) = 0
? x + 2y - 5 = 0.
Tổng kết:
- Dựa vào mối liên hệ giữa quan hệ song song và vuông góc.
A (x- x0) + B(y-y0) + C(z -z0) = 0
2.Cách xác định véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:
Bài tập về nhà: 2, 3, 5, 8: (SGK/ 82-83).
Các thầy cô giáo
và các em học sinh.