Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

Nêu các cách xác định mặt phẳng ?

1. Qua 3 điểm không thẳng hàng
2. Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng
3. Qua hai đường thẳng cắt nhau
4. Qua hai đường thẳng song song












Kí hiệu mp(ABC)
Kí hiệu mp(A,a)
Kí hiệu mp(a,b)
a
b
Kí hiệu mp(a,b)
1.Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
a. Định nghĩa.
H. Nhận xét quan hệ giữa 3 véc tơ với mp ?

Véc tơ là pháp tuyến của
H1, Cho mặt phẳng đi qua M0 và có véc tơ pháp tuyến điểm M bất kì thuộc
mp khi nào?
Điểm M thuộc mặt phẳng


Bài 4: Phương trình tổng quát của mặt phẳng
M0
M
M0
M
+ Cách xác định mặt phẳng
Như vậy một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một véc tơ pháp tuyến của nó
b. Chú ý.
H, Nhận mối quan hệ của hai véc tơ
và mối quan hệ hai véc tơ với mặt phẳng?


Cặp véc tơ được gọi là cặp chỉ phương của mp nêú chúng không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc thuộc mp đó
Khi đó là véc tơ pháp tuyến của
H, Nếu M1, M2, M3 la 3 điểm thuộc mp thì véc tơ pháp tuyến của là véc tơ nào?


Cặp chỉ phương là:
là véc tơ pháp tuyến của mp

M1
M2
M3
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
H, Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(P) đi qua M0 = (x0;y0;z0) có véc tơ pháp tuyến n = (A;B;C), điểm M=(x;y;z) thuộc (P). Khi đó tọa độ của điểm M thỏa mãn điều kiện gì?






Ta có M(x;y;z) thuộc mp khi và chỉ khi
Hay A.( x - x0 ) + B.( y - y0 ) + C.( z - z0 ) = 0
Ax + By + Cz - (Ax0 + By0 + Cz0) = 0
Tọa độ M thỏa mãn phương trỉnh: Ax + By + Cz + D = 0 (1), với D =-(Ax0 + By0 + Cx0)
và ngược lại.
M0
M
O
x
y
z
a, Định lí: Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (x;y;z) thỏa mãn phương trình dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 với
và ngược lại, tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình (1) là một mặt phẳng.






b, Định nghĩa:
Phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = 0 với
được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
c, Chú ý.
H. Nêu phương pháp viết phương trình tổng quát của mp ?
+ Phương pháp viết phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Xác định một điểm M0=(x0; y0; z0) thuộc mp và một véc tơ pháp tuyến
thì phương trình tổng quát có dạng:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
+ Nếu một mặt phẳng có phương trình: Ax + By + Cz +D = 0 thì có véc tơ pháp
tuyến là



3. Bài tập áp dụng
Baì 1. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm P=(1;-2;3) và song song với mặt phẳng 2x - 3y + z = 0




H. hãy xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho từ đó suy ra véc tơ pháp tuyến của mp cần tìm ?
H. Vận dụng phương pháp viết phương trình của mặt phẳng, viết phương trình của mặt phẳng cần tìm?
Giải
Do mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x - 3y + z +5 = 0 nên nó có
một véc tơ pháp tuyến là
Vậy phương trình của nó là: 2(x - 1) - 3(y + 2) + z - 3 = 0
hay 2x - 3y + z - 11 =0

2x - 3y + z + 5 =0
P(1;-2; 3)
Ta có:
suy ra mặt phẳng (PQR) có véc tơ pháp tuyến là

Bài 2.
Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm P=(1;-2; 3), Q=(2; 0; 1), R(-1; 1;-2)
H, Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (PQR) ?
HD. Tìm cặp chỉ phương của mặt phẳng từ đo suy ra véc tơ pháp tuyến
H, Vận dụng phương pháp viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ?
Mặt phẳng (PQR) có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm P(1;-2; 3) nên có phương trình là:
-4(x - 1) + 9(y + 2) + 7(z - 3) = 0
hay -4x + 9y +7 z + 1 = 0
H. Hãy nêu những nội dung cần nắm trong tiết học ?
Nội dung cần nắm
+ Véc tơ pháp tuyến của mp là véc tơ khác véc tơ không và vuông góc với mp.
+ Cặp véc tơ là cặp chỉ phương của mặt phẳng nếu chúng không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc thuộc mặt phẳng đó
Khi đó véc tơ pháp tuyến là:
+ Phương trình tổng quát quát của mặt phẳng có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0,
Khi đó tọa độ véc tơ pháp tuyến là:
+ Phương pháp viết phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Xác định một điểm M0=(x0; y0; z0) thuộc mp và một véc tơ pháp tuyến
Thì phương trình tổng quát có dạng:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0