Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách giáo khoa 2008
Click
Bài 2 :
I. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
Định nghĩa :
Cho mặt phẳng () . Nếu vectơ
và có giá vuông góc với mặt phẳng () thì
được gọi là vectơ pháp tuyến của ()
Chú ý : Nếu
là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì
cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó .
Bài toán : Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () và 2 vectơ không cùng phương
có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng ()
Chứng minh rằng mặt phẳng () nhận vectơ :
làm vectơ pháp tuyến .
Giải :
Ta có :
Tương tự :
Click
Vậy vectơ
vuông góc với cả hai vectơ

Có nghĩa là giá của nó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau của mp () .Suy ra giá của
vuông góc với mp () .
vì
không cùng phương nên các
tọa độ của
không đồng thời bằng 0 .
Suy ra
Nên
là một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng ()
Vectơ
xáx định như trên
được gọi là tích có hướng ( Tích vectơ )
của 2 vectơ
ký hiệu là :
hay :
Áp dụng : Trong kg Oxyz cho 3 điểm A(2;-1;3) B(4;0;1) C(-10;5;3) . Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mp (ABC)
Giải :
Click
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
Bài toán 1 :
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) và nhận
làm vectơ pháp tuyến . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm
M (x ; y ; z) thuộc mặt phẳng () là : A(x – x0) + B(y – y0) + C (z – z0) = 0
Giải :
Ta có :

M0
M
Click
Bài toán 2 :
Trong không gian Oxyz , chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x ; y ; z) thõa mãn
phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A , B , C không đồng thời bằng 0)
là một mặt phẳng nhận vectơ
Giải :
Ta lấy điểm
làm vectơ pháp tuyến .
sao cho
và
Thì ta lấy
Gọi () là mặt phẳng đi qua M0 và nhận
làm vectơ pháp tuyến
Ta có :
Từ 2 bài toán trên có định nghĩa sau :
Click
Định nghĩa :
Phương trình có dạng : Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A , B , C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng .
Nhận xét :
a) Nếu mặt phẳng () có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là :
b) Phương trình mặt phẳng đi qua M0(x0 ; y0 ; z0) nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến là : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Áp dụng :
1. Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của mp : 4x – 2y – 6z + 7 = 0
Giải :
2. Lập phương trình tổng quát của mp(MNP) với M(1;1;1) N(4;3;2) P(5;2;1)
Giải :
Phương trình mp đi qua M ; N ; P thõa
Vậy có x - 4y + 5 z - 2 = 0
Click
Các trường hợp riêng :
Trong không gian Oxyz cho mp () : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
a) Nếu D = 0
Thì gốc tọa độ O có tọa độ thõa mãn phương trình của mặt phẳng () . Vậy () đi qua gốc tọa độ O
z
y
O
x
)
Ax + By + Cz = 0
b) Nếu một trong 3 hệ số A , B , C bằng 0 ví A = 0
Thì mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến
Ta có
do
là vectơ chỉ phương của Ox , nên suy ra () song song hoặc chứa trục Ox .
z
y
O
x
)
By + Cz + D = 0
z
y
O
x
)
Ax + Cz + D = 0
z
y
O
x
Ax + By + D = 0
)
Click
* Áp dụng : Nếu B = 0 ; C = 0 thì mp () có đặc điểm gì ?
B = 0 thì () song song hoặc chứa trục Oy .
C = 0 thì () song song hoặc chứa trục Oz .
 ( ) song song hoặc chứa Oy và Oz
c) Nếu 2 trong 3 hệ số A , B , C bằng 0 . Ví dụ A = B = 0 và C ≠ 0
thì suy ra () song song hoặc chứa trục Ox ; Oy . Vậy () song song hoặc trùng mp(Oxy)
z
y
O
x
Cz + D = 0
z
y
O
x
By + D = 0
z
y
O
x
Ax + D = 0
* Nếu A = C = 0 và B ≠ 0 hoặc B = C = 0 và A ≠ 0 thì mp () có đặc điểm gì ?
Xem hình thứ 2 và thứ 3 để nêu đặc điểm .
Click
Nhận xét :
* Nếu các hệ số A , B , C , D đều khác 0 thì bằng cách đặt
Thì dưa phương trình (1) về dạng :
(2)
Khi đó mặt phẳng () cắt các trục Ox , Oy , Oz tại các điểm có tọa độ ( a ; 0 ; 0)
( 0; b ; 0) và (0 ; 0 ; c) .
phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn
Người ta còn gọi phương trình (2) là
z
y
O
x
a
b
c
Ví dụ :
Trong không gian Oxyz cho 3 điểm
M(1;0;0) N(0;2;0) P(0;0;3) . Hãy viết
phương trình mặt phẳng (MNP) .
* Giải :
Áp dụng phương trình mp đoạn chắn có :
Hay 6x + 3y + 2z - 6 = 0
Click
III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song , vuông góc :
Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng () và () có phương trình :
() : x – 2 y + 3z + 1 = 0 và () : 2x – 4y + 6z + 1 = 0
Có nhận xét gì về vectơ pháp tuyến của chúng ?
Vectơ pháp tuyến của () ; () là :
Vậy :
Và tích có hướng của chúng là :
Tổng quát :
Trong không gian Oxyz cho hai mp (1) ; (2) có phương trình :
(1) : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 ; (2) : A2x + B2 y + C2z + D2 = 0
Có 2 vectơ pháp tuyến :
Ta đi xét điều kiện để hai mp ( 1) và (2) song song hoặc vuông góc
Click
1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song :
1)
2)
Ta nhận thấy hai mp ( 1) và (2) song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi chúng cùng vuông góc với một đường thẳng . Nghĩa là hai vectơ pháp tuyến
và chúng cùng phương . Có :
Nếu D1 = k D2 thì ( 1) và (2) trùng nhau
Nếu D1 ≠ k D2 thì ( 1) và (2) song song
Vậy có kết luận sau :
Click
Chú ý :
Hai mp ( 1) và (2) cắt nhau
2)
1)
Ví dụ :
Viết phương trình mặt phẳng () đi qua M(1;-2;3) và song song với mặt phẳng () : 2x – 3y + z + 5 = 0
Giải :
Vì mp () // () nên có vectơ pháp tuyến là :
Vì mp () đi qua điểm M(1;-2;3) nên có phưoơng trình :
() : 2(x – 1) – 3(y + 2) + (z – 3) = 0 hay
() : 2x – 3y + z – 1 = 0
Click
2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc :
2)
1)
Hai mp ( 1) và (2) vuông góc với nhau
Khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến
tương ứng vuông góc với nhau
Vậy :
Ví dụ :
Viết phương trình mặt phẳng () đi qua 2 điểm M(3;1;-1) ; N(2;-1;4) và vuông góc với mặt phẳng () : 2x – y + 3z - 1 = 0
Giải :
Vì mp ()  () nên nó song song hoặc chứa vectơ pháp tuyến
và mp () đi qua M , N nên chứa
Vậy mp () có vectơ pháp tuyến là :
Do đó mp () có phương trình là :
() : -1(x – 3) +3(y – 1) + 5(z + 1) = 0
 x – 13 y – 5 z + 5 = 0
Click
IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Định lí :
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0
và điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0) . Khoảng cách từ M0 đến mp() là :
Chứng minh :
Gọi M1(x1 ; y1 ; z1) là hình chiếu vuông góc của M0 trên mp()
)
M1
M0
Xét 2 véctơ
và
là cùng phương . Suy ra :
mà M1  () nên : Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
Vậy D = - Ax1 – By1 – Cz1 (2)
Thế (2) vào (1) có
Gọi d(M0 ; ()) = M0 M1
Click
Ví dụ 1 :
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ và từ điểm M(1;-2;13) đến mặt phẳng () : 2x – 2y – z + 3 = 0
Giải :
Áp dụng công thức có :
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ và từ điểm M(1;-2;13) đến mặt phẳng () : 2x – 2y – z + 3 = 0
Ví dụ 2 :
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song () : x + 2y + 2z + 11 = 0 và () : x + 2y + 2z + 2 = 0
Giải :
Lấy 1 điểm bất kỳ của mp () ví dụ M(0 -11 ; 0 ; 0) . Tính
Áp dụng :
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
() : x - 2 = 0 và () : x – 8 = 0
Click
Bài tập trắc nghiệm :
(1) :
Cho mặt phẳng () đi qua điểm M(0;0;-1) và song song với giá của 2 vectơ
Phương trình mặt phẳng () là :
A : 5x – 2y – 3z – 21 = 0
B : – 5x + 2y + 3z + 3 = 0
C : 10x – 4y – 6z + 21 = 0
D : 5x – 2y – 3z + 21 = 0
(2) :
Cho 3 điểm A(0;2;1) B(3;0;1) C(1;0;0) . Phương trình mp (ABC) là :
A : 2x – 3y – 4z + 2 = 0
B : 2x + 3y – 4z – 2 = 0
C : 4x + 6y – 8z + 2 = 0
D : 2x – 3y – 4z + 1 = 0
Click
(3) :
Gọi () là mp cắt ba trục tọa độ tại 3 điểm A(8;0;0) B(0;-2;0) C(0;0;4) .
Phương trình mặt phẳng () là :
A
B
C
D
(4) :
Cho 3 mặt phẳng () : x + y + 2z + 1 = 0 () : x + y – z + 2 = 0 () : x – y + 5 = 0
Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào sai ?


A


B


C


D
Click
V. Bài tập :
Bài tập về nhà 1;2;3;4;5;6 ;7;8;9;10 trang 80 ; 81 sgk hh12 - 2008