Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

Tiết 28. Đ2 phương trình tổng quát
của mặt phẳng
M0
M
d
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
a. Định nghĩa:
Ký hiệu:
Chú ý: nếu là véc tơ pháp tuyến của (?) thì với , cũng là véc tơ pháp tuyến của (?)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (?) và nếu hai véc tơ không cùng phương , có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (?) thì (?) nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến, kí hiệu hoặc
Lưu ý
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Em hãy cho biết hình nào mặt phẳng (?) có cặp vectơ chỉ phương?
Đáp số: Hình 2 và hình 3
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Đặt
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
b) Chú ý:
?
?
là một vectơ pháp tuyến của (?) .
?
Vậy nếu A, B, C là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng (?) thì
là một vectơ pháp tuyến của (?) .
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a. Bài toán:
Trong hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (?).
M0
M0(x0;y0;z0) ? (?)
là một vectơ pháp tuyến của (?)
Tìm điều kiện để điểm M ? (?)
M
Giải:
Giả sử M = (x; y; z). M ? (?) ?
? A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 (*)
Khai triển rồi đặt D = -(Ax0 + By0 + Cz0) ta được phương trình:
Ax + By + Cz + D = 0 (1)
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
*. Định lí: SGK/ 78
b) Định nghĩa
Phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ? 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
?
c) Chú ý
?
Nếu mặt phẳng (?) qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vtpt
thì phương trình của nó là:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
?
Nếu mặt phẳng (?) là mặt phẳng có phươg trình:
Ax + By + Cz + D = 0 thì là một vtpt của nó.
3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát
Em hãy đọc SGK trang 80 rồi lựa chọn phương trình mặt phẳng ở cột A sao cho phù hợp với kết luận ở cột B:
Ví dụ: 1 - c
3.Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát
Em hãy đọc SGK trang 80 rồi cho biết trong các PT sau, PT nào là PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A=(1; 0; 0), B=(0; -2; 0) và C= (0; 0; 5):
Phương trình dạng đó được gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng.
4. Ví dụ
Tóm tắt
?
Nếu mặt phẳng (?) qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vtpt
thì phương trình của nó là:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
?
Nếu mặt phẳng (?) là mặt phẳng có phươg trình:
Ax + By + Cz + D = 0 thì là một vtpt của nó.
Ví dụ 1:
Viết phương trình mặt phẳng qua điểm P = (1; -2 ; 3) và song song với mặt phẳng 2x - 3y + z + 5 = 0.
P
2x - 3y + z + 5 = 0
Giải
Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x - 3y + z + 5 = 0 nên nó có một vtpt là:
Vậy phương trình của nó là:
2(x - 1) - 3(y + 2) + z - 3 = 0.
hay 2x - 3y + z - 11 = 0
4. Ví dụ
Ví dụ 2:
Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm P = (1; 0; 0), Q = (0; 2: 0) và R = (0; 0; 3)
Giải
Mặt phẳng (PQR) có vectơ pháp tuyến là:
(6; 3; 2)
và đi qua điểm P nên có phương trình là:
6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0 ?
6x + 3y + 2z - 6 = 0.
Cách 2:
Mặt phẳng (PQR) có phương trình theo đoạn chắn là:
6x + 3y + 2z - 6 = 0.
Ví dụ 3:
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, biết A = (1;2;-2), B = (1; 2; 1)
Giải
4. Ví dụ
A
B
I
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và vuông góc với đường thẳng AB nên có thể chọn:
làm vtpt pháp tuyến của nó. Vậy PT của nó là:
hay - y + 3z + 4 = 0.
Em đã chọn đúng !
Em �� ch�n sai ! H�y kiĨm tra l�i.