Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

Tiết54 .Phương trình tổng quát của mặt phẳng
1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
a, Định nghĩa. Véc tơ n khác véc tơ không gọi là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (P) ( nói tắt là vuông góc với (P)).
Kí hiệu n (P)
Hãy cho biết một mặt phẳng có bao nhiêu véc tơ pháp tuyến,các véc tơ này có quan hệ gì với nhau ?
Nhận xét:
+ Một mặt phẳng có vô số véc tơ pháp tuyến.
+ Nếu n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì kn cũng là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (p).
+Nếu điểm Mo là một điểm thuộc (P) thì điều kiện cần và đủ để điểm M ( khác Mo ) thuộc mặt phẳng (P) là MM0 n
Vậy: mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một véc tơ pháp tuyến của nó.
b,chú ý :+ Trong không gian nếu có hai véc tơ a(x1;y1;z1) và b(x2;y2;z2) là hai véc tơ không cùng phương và cùng song song với mặt phẳng (P) thì khi đó ta có véc tơ n = [ a ,b] chính là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Hai véc tơ nói trên được gọi là một cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (P).
+Suy ra: nếu M1, M2,M3 là 3 điểm phân biệt không thẳng hàng trong mặt phẳng(P) thì ta có , là cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng(P).

Hãy giải thích vì sao từ cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng ta có được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó ?
2.Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
a, Định lí.Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (x; y; z) thỏa mãn một phương trình dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2 + C2 ≠ 0 (1) và ngược lại tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình (1) là một mặt phẳng.
b, định nghĩa. Phương trình dạng:Ax + By + Cz + D =0 và A2+B2 + C2 ≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng .
C, Chú ý:+ Nếu mp (P) đi qua điểm Mo(xo;yo;zo)và có véc tơ pháp tuyến n(A;B;C) thì phương trình của nó là:
A(x – xo)+ B(y – yo) + C(z –zo) = 0
+Nếu (P) là mặt phẳng có phương trình
Ax + By + Cz + D = 0 thì n(A;B;C) là một véc tơ pháp tuyến của nó.

3. Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát
a,nếu D = 0 thì mặt phẳng Ax + By + Cz =0 đi qua gốc tọa độ.
b,Nếu A = 0; B,C ≠ 0 thì mặt phẳng By + Cz + D=0 song song hoặc chứa trục Ox .
C, Nếu A = B = 0; C ≠ 0 thì mặt phẳng Cz + D = 0 song song hoặc trùng mặt phẳng Oxy.
d, Nếu mặt phẳng (P) cắt 3 trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) thì ta có phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng là:
4. Ví dụ
Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a, Mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;2) và song song với mặt phẳng 2x +y – 3z = 0
b,mặt phẳng đi qua ba điểm M(1;2;1), N(0; 2;-2), P(1;3;2)
c, Mặt phẳng đi qua điểm B(1;2;2) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng 2x + y– 3z = 0 và x +3z +4 = 0
d, Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu của điểm M(1;-2;3) lên các trục tọa độ.
Ai xung phong lên bảng nào ?
Bài làm
a,Mặt phẳng cần tìm đi qua A và song song với mặt phẳng 2x +y – 3z = 0
nhận véc tơ n(2;1;-3) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là : 2(x -1) + 1(y -3) - 3(z -2) = 0
hay 2x + y - 3z + 1 = 0
b,Mặt phẳng (MNP) đi qua M(1;2;1) và nhận n = [MN,MP] = (3;1;-1) nên có phương trình là:
3(x-1)+1(y-2) -1(z-1) = 0 hay 3x + y - z - 4 = 0
c,Mặt phẳng cần tìm đi qua B(1;2;2) và vuông góc với hai mặt phẳng 2x + y– 3z = 0 và x +3z +4 = 0 có véc tơ pháp tuyến n = (3;-9;-1) nên phương trình là:
3(x-1) – 9(y-2) -1(z-2) = 0 hay 3x – 9y –z + 17 = 0
d,Gọi M1;M2; M3 lần lượt là hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz ta có:M1(1;0;0), M2(0;-2;0), M3(0;0;3). Khi đó phương trình mặt phẳng (M1M2M3) là:

Các em đừng quên nghiên cứu lại bài học và làm bài tập SGK trang 82,83 nhé !