Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

HÌNH HỌC 12
BÀI 10 :
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S(I ; R) có tâm I(a ; b ; c) và bán kính R.
M(x ; y ; z) ? S(I ; R)
? IM = R
Phương trình trên được gọi là phương trình của mặt cầu S(I ; R)
? (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
1) Như vậy, nếu biết tọa độ tâm và bán kính mặt cầu thì ta có thể dễ dàng viết được phương trình của mặt cầu đó.
2) Nếu tâm I của mặt cầu (S) là gốc tọa độ O(0 ; 0 ; 0) thì phương trình mặt cầu là : x2 + y2 + z2 = R2.
? Chú ý :
Ngược lại, xét phương trình :
Có thể viết lại phương trình (2) dưới dạng :
Vì a2 + b2 + c2 - d > 0. Đặt : a2 + b2 + c2 - d = R2
Ta đưa phương trình (2) về dạng :
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 (2)
với a2 + b2 + c2 - d > 0
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 - a2 - b2 - c2 + d = 0
? (x -a)2 + (y -b)2 + (z -c)2 = a2 + b2 + c2 - d
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
Phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c), bán kính là :
(S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Phương trình mặt cầu trong không gian có các đặc điểm sau :
_ Là phương trình bậc hai đối với x, y, z.
? Chú ý :
_ Các hệ số của x2, y2, z2 đều bằng nhau và khác 0.
_ Không có các số hạng chứa các tích xy, yz, zx.
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c) 2 = R2
I. Phương trình mặt cầu
? Tâm I(a ; b ; c)
? Bán kính R
? Bán kính R
? Tâm I(a ; b ; c)
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Bài 1
? Bài giải :
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau :
a) (S) : x2 + y2 + z2 - 8x + 2y + 1 = 0
b) (S) : x2 + y2 + z2 + 4x + 8y - 2z - 4 = 0
c) (S) : 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x - 3y + 15z - 2 = 0
Bài 2
? Bài giải :
Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm :
A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C(2 ; 2 ; 3)
và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
Tâm I(a ; b ; c) ? mp(Oxy) nên c = 0.
Phương trình (S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by + d = 0
A(1 ; 2 ; -4) ? (S) : 1 + 4 + 16 - 2a - 4b + d = 0
B(1 ; -3 ; 1) ? (S) : 1 + 9 + 1 - 2a + 6b + d = 0
C(2 ; 2 ; 3) ? (S) : 4 + 4 + 9 - 4a - 4b + d = 0
Vậy (S) : x2 + y2 + z2 + 4x - 2y - 21 = 0
Bài 2
? Cách 2 :
Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm :
A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C(2 ; 2 ; 3)
và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
Tâm I(a ; b ; c) ? mp(Oxy) nên c = 0 ? I(a ; b ; 0)
A, B, C ? (S) nên AI = BI = CI
Vậy (S) : (x + 2)2 + (y - 1)2 + z2 = 26
? I(- 2 ; 1 ; 0)
Bài 2
? Bài giải :
Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm :
A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C(2 ; 2 ; 3)
và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
Tâm I(a ; b ; c) ? mp(Oxy) nên c = 0.
Phương trình (S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by + d = 0
A(1 ; 2 ; -4) ? (S) : 1 + 4 + 16 - 2a - 4b + d = 0
B(1 ; -3 ; 1) ? (S) : 1 + 9 + 1 - 2a + 6b + d = 0
C(2 ; 2 ; 3) ? (S) : 4 + 4 + 9 - 4a - 4b + d = 0
Vậy (S) : x2 + y2 + z2 + 4x - 2y - 21 = 0
Bài 2
? Bài giải :
Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm :
A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C(2 ; 2 ; 3)
và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
Vậy (S) : x2 + y2 + z2 + 4x - 2y - 21 = 0
(S) : (x + 2)2 + (y - 1)2 + z2 = 26
(S) : x2 + 4x + 4 + y2 - 2y + 1 + z2 = 26
(S) : x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 5 - 26 = 0
Bài 3
? Bài giải :
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3 ;-2 ; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình : 2x - 2y - z + 9 = 0.
Bán kính R của mặt cầu (S) chính là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới mặt phẳng (P).
Phương trình (S) : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
Vậy (S) : (x - 3)2 + (y + 2)2 + (z - 1)2 = 36
Nếu d(I , (P)) = R : mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H và mp(P) được gọi là tiếp diện của mặt cầu.
Nếu d(I , (P)) > R : mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu.
II. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Bài 4
? Bài giải :
Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau :
Đường tròn (C) = (S) ? (?)
Tâm của (C) là H, H là hình chiếu vuông góc của I lên (?)
Thay x, y, z vào phương trình mp(?) , ta có :
(3 + t) + 2(- 1 + 2t) - 2(1 - 2t) + 1 = 0 ? t = 0
? H(3 ; -1 ; 1) ? I
? Bán kính : Rc = R(S) = 1
Bài 5
? Bài giải :
Thiết lập phương trình tiếp diện của mặt cầu :
x2 + y2 + z2 - 6x - 2y + 4z + 5 = 0
tại điểm M(4 ; 3 ; 0)
M(4 ; 3 ; 0) : 16 + 9 - 24 - 6 + 5 = 0 ? M(4 ; 3 ; 0)? (S)
? mp(?) : x + 2y + 2z + D = 0
M(4 ; 3 ; 0)? (?) : 4 + 6 + 0 + D = 0 ? D = -10
Vậy mp(?) : x + 2y + 2z -10 = 0
Bài 6
? Bài giải :
Ta có : d(I , (P)) < R
a) (S) : x2 + y2 + z2 - 6x - 2y + 4z + 5 = 0
(?) : x + 2y + z - 1 = 0
Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong các trường hợp sau :
Vậy mặt phẳng cắt mặt cầu.
Bài 6
? Bài giải :
? Mặt phẳng (?) qua tâm I của mặt cầu.
b) (S) : x2 + y2 + z2 - 6x + 2y - 2z + 10 = 0
(?) : x + 2y - 2z + 1 = 0
Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong các trường hợp sau :
Bài 6
? Bài giải :
Ta có : d(I , (P)) > R
c) (S) : x2 + y2 + z2 + 4x + 8y - 2z - 4 = 0
(?) : x + y - z - 10 = 0
Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong các trường hợp sau :
Vậy mặt phẳng không cắt mặt cầu.
_ Làm hoàn chỉnh các bài tập trong đề cương.
_ Chuẩn bị ôn tập chương II