Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN TIẾP
TỔ TOÁN
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Phương trình của mặt phẳng.
Điều kiện để hai mp song song , vuông góc
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
VD: Trong kg Oxyz cho ba điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3) . Hãy tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mp (ABC)
CM: (SGK)
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
M0
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () qua điểm M0(x0; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến là
Điều kiện cần và đủ để M(x; y; z)  () là

Nếu đặt D = -(Ax0 + By0 + Cz0) thì (1) trở thành:
Ax + By + Cz + D = 0 (2)
(1)
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
1. Định nghĩa : Phương trình có dạng Ax+By+Cz+D=0 , trong đó A,B,C không đồng thời bằng không , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng
+Nhận xét :
a.Nếu mp(α) có pt tổng quát là Ax+By+Cz+D=0 thì mp(α) có vectơ pháp tuyến là
b.Ptmp đi qua M0(x0;y0;z0) nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến có dạng :
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
VD1: Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt sau :
1. (P): 4x-2y-6z+7=0 2. (Q): 2x-5z+5=0 3. (R): x-3=0
VD2: Lập pttq của mặt phẳng (MNP) với M(1;1;1), N(4;3;2), P(5;2;1)
2. Các trường hợp riêng :
Cho mp(α) : Ax+By+Cz+D=0 (1)
a. Nếu D=0 thì
(α) đi qua gốc tọa độ O
b. Nếu A=0 thì
Nếu B=0 thì (α) song song hoặc chứa Oy
Nếu C=0 thì (α) song song hoặc chứa Oz
(α) song song hoặc chứa Ox
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
c.Nếu A=B=0 và C ≠0 thì mp (α) song song với Ox và Oy hoặc (α) chứa Ox và Oy .
Nếu B=C=0 và A ≠0 thì (α) song song hoặc trùng với mp (Oyz)
Nếu A=C=0 và B ≠0 thì (α) song song hoặc trùng với mp (Oxz)
Vậy (α) song song hoặc trùng với mp (Oxy)
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét : Cho (α): Ax+By+Cz+D=0
Nếu A,B,C,D đều khác 0 thì ta đặt
Ptmp (α) được đưa về dạng sau :
Khi đó mp(α) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm có tọa độ là (a;0;0), (0;b;0), (0;0;c) .
PT (2) được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn
VD: Cho 3 điểm M(2;0;0), N(0;-3;0), P(0;0;4) .Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP)
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
III.Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
Trong không gian Oxyz cho hai mp (α1) và (α2) có pt :
Khi đó : (α1) và (α2) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là :
1. Điều kiện để hai măt phẳng song song :
III.Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
1. Điều kiện để hai măt phẳng song song :
Chú ý :
III.Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
1. Điều kiện để hai măt phẳng song song :
VD: Viết ptmp (P) đi qua điểm M(2;1;-3) và song song với mặt phẳng (Q) : 3x-2y+z-7=0
2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc :
VD: Viết ptmp (P) đi qua hai điểm A(-1;1;3), B(4;-1;2) và vuông góc với mp(Q): x-2y+3z-1=0
IV.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Định lí : Trong KG Oxyz , cho mp(α) có pt Ax+By+Cz+D=0 và điểm M0(x0;y0;z0) . Khoảng cách từ điểm M0 đến mp (α) , kí hiệu d(M0,(α)), được tính theo công thức :
Ví dụ 2:
Viết phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:
Là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; 2; 3) và B(5; 0; 1)
Đi qua 3 điểm A(0; 1; 1), B(1; 2; 0) và C(1; 0; 2)
Song song hoặc trùng với mặt phẳng tọa độ Oxy. Tương tự cho các mặt Oyz, Oxz.
Song song hoặc chứa trục Ox. Tương tự cho các trục Oy, Oz.
Ví dụ 3:
Trong không gian Oxyz cho điểm M(30; 15; 6)
Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm là hình chiếu của M lên các trục tọa độ.
Tìm tọa độ hình chiếu H của O lên (P)
Biết cách tìm vectơ pháp tuyến và tọa độ một số điểm thuộc mặt phẳng khi biết phương trình của mặt phẳng đó.
Biết các dạng của phương trình mặt phẳng ở các trường hợp đặc biệt: song song hoặc trùng với các mặt phẳng tọa độ, song song hoặc chứa các trục tọa độ.
Biết cách viết phương trình mặt phẳng khi cho một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.
Làm BT 15 sgk 12NC trang 89.