Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

$10. Phương trình mặt cầu

I(a,b,c)
R
M
O
y
x
z
+) Nếu I(0;0;0) thì phương trình (1) thành:
Ngược lại : Xét 1 phương trình dạng
;
;
Có thể viết lại pt (2) dưới
dạng (3)
(3) Là pt mặt cầu tâm I(- A;- B;- C) và có bán kính
(2) cũng gọi là phương trình mặt cầu
1) Phương trình mặt cầu:
Giả sử mặt cầu (S)có tâm I(a;b;c), bán kính R

M(x,y,z) thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi IM = R:
Do đó (1)
2) Ví dụ:Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :

Giải:Phương trình cho tương đương
Vậy mặt cầu cho có tâm I(-2;1;- 3) bán kính R = 3
(S) ∩(P) = Ø
(S) ∩(P) = { H }
(S) ∩(P) = (C)

3) Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Trong hệ oxyz cho (P) : Ax+By+CZ+D =0
Gọi H là hình chiếu của tâmI(a;b;c) của (S)
trên mặt phẳng (P) Thì
Theo hình học 11:
a)Nếu IH < R thì (P) giao (S) là 1 đường tròn tâm H
bán kính bằng r =
Vậy hệ:
Với điều kiện:
là phương trình của 1 đường tròn
b) Nếu IH =R thì (P) là tiếp diện của mặt cầu
c) Nếu IH> R  S(I;R)  (P) = 
Ví dụ:Trong không gian với hệ toạ độ oxyz , cho mặt cầu
(S) có pt : x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 6z – 3 = 0 và mặt phẳng
(P) : x + 2y – 2 = 0.Chứng tỏ rằng (P) và (S) cắt nhau.
xác định toạ độ tâm của đường tròn giao tuyến và tính bán
kính của nó?
Giải:
(S) có tâm I(2; -1; 3) , bán kính R =
Khoảng cách từ tâm I đến (P) là
Vậy (S) cắt (P) theo đường tròn (C)
Đường thẳng d’ đi qua I(2; -1; 3)và vuông góc với (P) có pt

Tham số t ứng với giao điểm H của d’ và (P)
là nghiệm của pt : 2+ t + 2(-1 + 2t) –2 = 0
t = 2/5 suy ra H(12/5; -1/5;3) đó là tâm của (C)
Gọi r là bán kính (C)