Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

KiỂM TRA BÀI CŨ
Câu hỏi:
Phát biểu các tính chất của tích có hướng
Tính tích có hướng của hai vectơ
và
§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
Định nghĩa:
Vectơ khác được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của vuông góc với




Chú ý
1. Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì vectơ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.







2. Nếu hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng thì vectơ là một vectơ pháp tuyến của
Hai vectơ nói trên được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng


Ví dụ. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;-4;5), B(0;2;-1) và C(1;1;2). Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Giải
Vì là một cặp vectơ chỉ phương của mp(ABC)
Nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

3. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Bài toán 1
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng đi qua điểm
và nhận làm vectơ pháp tuyến. Tìm điều kiện cần và đủ để điểm
Giải
Ta có




PT (1) chính là điều kiện cần và đủ để điểm
Bài toán 2
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x;y;z) thỏa mãn phương trình (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) là một mặt phẳng nhận làm vectơ pháp tuyến.
Định nghĩa
Phương trình có dạng (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét
Nếu mặt phẳng có phương trình thì nó có một vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
có một VTPT
là
Ví dụ. Viết phương trình của mặt phẳng
Đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến.
Đi qua điểm A(1;0;-3) và vuông góc với đường thẳng MN với M(2;-2;1), N(2;2;5).
Đi qua điểm A(1;1;-3) và có cặp vectơ chỉ phương

Đi qua ba điểm A(0;1;-1), B(-2;0;1) và C(2;3;-6).
Giải
Mặt phẳng đi qua điểm M(-3;2;1)
có một VTPT
có PT là:


Mặt phẳng đi qua điểm A(1;0;-3)
có một VTPT
có PT là:
Ta có là một VTPT của mặt phẳng
Mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;-3)
có 1 VTPT
Có PT là:

Ta có là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Suy ra là một VTPT của
Mặt phẳng đi qua điểm A(0;1;-1)
có 1 VTPT
có PT là




2. Các trường hợp riêng
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng

a. Nếu thì đi qua gốc tọa độ.
b. Nếu một trong ba hệ số A, B, C bằng 0, chẳng hạn A=0 thì song song hoặc chứa trục Ox.
c. Nếu hai trong ba hệ số A, B, C bằng 0, chẳng hạn
thì song song hoặc trùng với mặt phẳng (0xy).
??? Hãy cho biết vị trí tương đối của
Điểm O và mp(P): -3x+2y+4z=0;
Trục Ox và mp(Q): 2x+6y-5=0;
Trục Ox và mp(R): 3y-5z=0;
mp(Oxy) và mp(S): -4z+7=0.
Nhận xét
Nếu cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với
thì phương trình còn được viết dưới dạng

Phương trình trên được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.
Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M(2;0;0), N(0;-3;0), P(0;0;1).
Giải
Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có


Hay


KiẾN THỨC CẦN NHỚ
Vectơ khác được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của vuông góc với
Hai vectơ không cùng phương được gọi là một cặp vectơ chỉ phương của một mặt phẳng nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng đó.
Nếu là một cặp VTCP của thì là một VTPT của
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
có một VTPT
là