Chương III. §2. Phương trình mặt phẳng

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến là







Trả lời









.
Dạng 1
2) Áp dụng:
a) Viết phương trình tổng quát của mp(α) đi qua điểm A(1; 3; 2) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.
2) Phương trình mp(α) là:
3(x – 1) + 4(y – 3) + (z – 2) = 0
hay 3x + 4y + z – 17 = 0
1)
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG


b) Trong không gian, lập phương trình tổng quát của mp(P) biết nó đi qua điểm M(2 ; 5; 3) và song song với mp(Q): 2x + 3y – z + 1 = 0










Giải

Do (P) // (Q) nên (P) có vectơ pháp tuyến là

Phương trình mp (P) là
2(x – 2) + 3(y – 5) – (z – 3) = 0
hay 2x + 3y – z – 16 = 0



Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình nào trong các hình sau mp có vectơ pháp tuyến là
Đáp án: Hình 2, Hình 3 và Hình 4
Hình 4
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Lập phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) và biết 2 vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên ()




Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () được tính theo công thức:









.
Dạng 2
Cách giải:
Tìm vectơ pháp tuyến
Áp dụng dạng 1 để giải

Biết hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp()
Dùng máy tính casio fx 570 ES (Plus): Tìm vectơ pháp tuyến của mp() (tính tích có hướng của 2 vectơ ) :
Mode  8  1  1  (Nhập vectơ a)
On  shift  5 1  2 1 (Nhập vectơ b)
On  shift  5  3  dấu x  shift  5  4  =







Thực hành trên máy tính
Casio fx570plus
Ví du:̣ Cho 2 vectơ . Tính

Kết quả
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1)Lập phương trình mp(ABC), biết
A(1; 1; 3), B(2; 2; 3), C(3; 1; 4)
Giải
Hai vectơ có giá nằm trên mp(ABC) là

Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là

Vậy mp(ABC) có phương trình là
(x – 1) – (y – 1) – 2(z – 3) = 0
hay x – y – 2z + 6 = 0
2) Lập phương trình mp(α) biết nó đi qua 2 điểm A(1; 2; 0), B(2; 2; 1) và vuông góc với mp(β): 2x + y + z + 3 = 0
Giải
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(ABC) là



Vectơ pháp tuyến của mp(α) là


Vậy mp(α) có phương trình là
– (x – 1) + (y – 2) + (z – 0) = 0
hay – x + y + z – 1 = 0
A.
.C
.B
Tìm vectơ pháp tuyến của mp
Hướng dẫn:
Tìm 2 vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG


Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) có phương trình như thế nào? Phương trình này gọi là phương trình gì ?







Trả lời
Phương trình đó là:




hay bcx + acy + abz – abc = 0

gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.




Dạng 3
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG


BT) Viết phương trình mp(α) đi qua 3 điểm :
A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 4).





Giải

Áp dụng công thức phương trình mp theo đoạn chắn, ta có phương trình mp(α) là:





hay 2x + 4y + z – 4 = 0


BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG




Cho hai mp:



Lần lượt có hai vectơ pháp tuyến




Điều kiện để ?


Điều kiện để cắt ?




Trả lời

1)











2) cắt






Hai mp song song, cắt nhau
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1) Xác định m và n để 2 mp sau song song với nhau:
3x + my – 2z – 7 = 0 và
nx – 2y – z – 9 = 0
Giải
Để 2 mp đã cho song song với nhau thì ta có:
(3; m; – 2) = 2(n; – 2; – 1 )
hay (3; m; – 2) = (2n; – 4; – 2 )
Vậy

2) Xác định m để 2 mp sau cắt nhau:
3x + my – 2z + 5 = 0 và
6x – 2y – 4z + 7 = 0

Giải
Để 2 mp đã cho cắt nhau thì ta có:




Vậy


Bài tập về nhà
1) Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A(1; 3; 5) và vuông góc với hai mp có phương trình sau: 3x – 4y + 2z + 1 = 0 và x – 2y + z – 3 = 0
2) Viết phương trình mp biết nó đi tiếp xúc với mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 4)2 = 9, tại điểm A( 2; 4; 4).
3) Xác định m và n để 2 mp sau song song vơi nhau:
(α): 4x – my + 2z – 3 = 0
(β): nx + 3y – 4z – 5 = 0
4) Tính khoảng cách giữa hai mp song song
(α): 4x + 6y + 2z – 3 = 0
(β): 2x + 3y + z – 5 = 0



.
Phương trình
mặt phẳng
Dạng 2: Biết một điểm thuộc mp và hai vectơ
có giá song song hoặc nằm trên mp đó.
Dạng 3: Phương trình mp theo đoạn chắn
Điều kiện để hai mp song song hoặc cắt nhau
CỦNG CỐ BÀI


Phương trình mặt phẳng đi qua điểm nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến là









.
Dạng 1

Lập phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) và biết 2 vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên ()






Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () được tính theo công thức:









.
Dạng 2

Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) có phương trình ? Phương trình này gọi là phương trình gì ?







Trả lời
Phương trình đó là:




hay bcx + acy + abz – abc = 0

gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.




Dạng 3




Cho hai mp:



Lần lượt có hai vectơ pháp tuyến




Điều kiện để ?


Điều kiện để cắt ?




Trả lời

1)











2) cắt






Hai mp song song, cắt nhau
Tìm vectơ pháp tuyến từ 2 vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng.
* Dùng công thức:


* Hoặc dùng máy tính casio fx 570 ES (Plus): Tìm vectơ pháp tuyến của mp
Mode  8  1  1  (Nhập vectơ a)
On  shift  5 1  2 1 (Nhập vectơ b)
On  shift  5  3  dấu x  shift  5  4  =

rp
MT