Chương III. §2. Liên hệ giữa cung và dây

CHÚC CÁC EM LUÔN VUI TƯƠI VÀ THÀNH ĐẠT
D
C
A
B
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau :
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Xét ∆AOB & ∆COD, ta có :
OA = OB = OC = OD
(= R)
Suy ra : ∆AOB = ∆COD
(c.g.c)
 AB = CD.
Ta có :
OA = OB = OC = OD
(= R)
AB = CD
(gt)
Suy ra : ∆AOB = ∆COD
(c.c.c)
hay
C
D
A
B
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau :
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
Hãy viết giả thiết và kết luận của định lý này.
Bài 11 tr 72 SGK
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O’) khác điểm O.
a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.
b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung lớn ED thành hai cung bằng nhau :
A
B
C
D
E
a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.
Xét ∆ABC & ∆ABD, ta có :
AC = AD
(gt)
AB : cạnh chung
 ∆ABC = ∆ABD
(c. huyền – c. góc vuông)
Do đó : BC = BD.
hay
A
B
C
D
O’
E
b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD.
Ta có : E  O’
Lại có : BC = BD
(cmt)
 EB là đường trung tuyến của tam giác vuông ECD
 EB = BD
Do đó :
hay B là điểm chính giữa của cung EBD.
Bài 12 tr 72 SGK
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (H  BC, K  BD).
a) Chứng minh rằng OH > OK.
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
D
a) Chứng minh rằng OH > OK.
Trong ∆ABC, ta có :
BC < AB + AC
(bđt ∆)
Mà : AC = AD
(gt)
Do đó : BC < AB + AD
Hay BC < BD
 OH > OK.
b) So sánh hai cung nhỏ BD & BC.
Ta có :
BC < BD
(cmt)
Bài 13 tr 72 SGK
Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
D
C
A
B
Xét hai trường hợp :
a) Tâm O nằm ngoài hai dây song song .
b) Tâm O nằm trong hai dây song song .
D
C
A
B
a) Tâm O nằm ngoài hai dây song song
M
N
 ∆COD cân tại O
Ta có : OC = OD = R
Lại có :
(slt)
C/m tương tự ta có :
Lại có :
(1)
(2)
(3)
Từ (1), (2) và (3), ta có :
Kẻ đường kính MN // AB
M
N
b) Tâm O nằm trong hai dây song song
 ∆COD cân tại O
Ta có : OC = OD = R
Lại có :
(slt)
C/m tương tự ta có :
Lại có :
(1)
(2)
(3)
Từ (1), (2) và (3), ta có :
Kẻ đường kính MN // AB
Bài 13 tr 72 SGK
Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Bài 14 tr 72 SGK
a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không ? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
B
Ta có : OC = OD
(= R)
 ∆COD cân tại O.
Lại có :
(gt)
 OA là đường phân giác và cũng là đường trung tuyến của ∆COD
Do đó : AB đi qua trung điểm của dây CD.
Giả sử đường tròn (O) có đường kính AB đi qua trung điểm A của cung CD.
Gọi I là giao điểm của AB và CD.
I
a) CM : IC = ID
Mệnh đề đảo :
B
đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng cung ấy.
S
Điều kiện :
đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng cung ấy.
Bài 14 tr 72 SGK
b) Chứng minh rằng : đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
B
I
B
I
Ta có : OC = OD
(= R)
 ∆COD cân tại O.
Lại có :
(gt)
 OA là đường phân giác và cũng là đường cao của ∆COD
Giả sử đường tròn (O) có đường kính AB đi qua trung điểm A của cung CD.
Gọi I là giao điểm của AB và CD.
 AB  CD.
B
I
Ta có : OC = OD
(= R)
 ∆COD cân tại O.
Lại có :
(gt)
 OA là đường cao và cũng là đường phân giác của ∆COD
Giả sử đường tròn (O) có đường kính AB  CD tại I.
AB  CD
hay
CHÚC CÁC EM LUÔN VUI TƯƠI VÀ THÀNH ĐẠT