Chương III. §1. Nguyên hàm

TIẾT 47 ? 48 - 49
Định nghĩa :
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)
trên khoảng (a ; b) , với mọi x thuộc (a ; b) thì :
F ?(x) = f(x)
* Nếu thay ?x ? [a ; b] thì : F?(a+) = f(a) và F?(b-) = f(b)
Ví dụ : * F(x) = x2 là 1 nguyên hàm của f(x) = 2x
vì F?(x) = (x2)? = 2x = f(x)
* G(x) = tgx là 1 nguyên hàm của g(x) = 1/cos2x
Định lý :
Nếu F(x) là 1 nguên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì :
a) Với mọi hằng số C : F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm
của f(x) trên đó
b) Ngược lại mọi nguyên hàm của f(x) trên (a;b) đều có
thể viết dưới dạng : F(x) + C (trong đó C là 1 hằng số )
Bổ đề :
Nếu F?(x) = 0 trên (a;b) thì F(x) không đổi trên đó .
Chứng minh định lý và bổ đề :
Xem s.g.k .
* Ký hiệu :
họ tất cả các nguyên hàm của f(x) là : ? f(x).dx
* Đọc :
Tích phân bất định của f(x) là : ? f(x).dx = F(x) + C
* Có :
F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) thì :
F?(x) = f(x) ? d F ?(x) = F(x).dx = f(x).dx
* Ví dụ :
a) ? 2x.dx = x2 + C
b) ? (1/cos2x) . dx = tgx + C
3) Các tính chất của nguyên hàm :
1- : (?f(x) .dx )? = f(x)
2- : ? a.f(x) .dx = a.? f(x).dx (a ? 0)
3- : ? [f(x) + g(x)] .dx = ? f(x).dx + ? g(x).dx
4- : ? f(t) .dt = F(t) + C
? ? f[u(x) . u?(x)].dx = F[u(x)] + C
? f(u) .du = F(u) + C
4) Sự tồn tại của nguyên hàm :
* Định lý : (công nhận)
Mọi hàm số liên tục / (a;b) đều có nguyên hàm trên đó .
5) Bảng các nguyên hàm :
1 - : ? dx = x + C ? ? du = u + C
2 - : ? xm .dx =
3 - :
4 - : ? ex .dx = ex + C
= ln |x| + C (x ? 0)
5 - : ? ax .dx =
(0 < a ? 1)
6 - : ? cos x .dx = sin x + C
7 - : ? sin x .dx = - cos x + C
8 - :
= tg x + C
9 - :
= - cotg x + C
* 6) Ví dụ :
a) ? (2 x 2 ? 3 x + 5 ) . dx = 2x3 /3 ? 3x2 /2 + 5x + C
b)
c)
d)
= - 3.cosx ? 2.tgx + C
? ( 5 x + 3 ) 5 . dx =
e)
= ln (ex + 1) + C
f)
. Củng cố và dặn dò :
Làm các bài tập 1;2;3 s.g.k.trang 118

Kính chào !
Kính chào !
Thầy
,
BÀI 2 : BÀI TẬP NGUYÊN HÀM
a) f(x) =
?
1) Tìm nguyên hàm :
f) f(x) =
?
g) f(x) = 2.ax ? = 2.ax ? x1/2 (0 < a ? 1) ?
i) f(x) = 4 ? 3 tg 2 x ?
k) f(x) = 4.cos2
? 3 cos x = 4.
?
2) Tính :
e)
g)
i)
k)

l)

3 : Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 cos
biết rằng nguyên hàm này bằng 0 khi x = 0.
? 4 sin (??/6) ? C = 0 ? C = 4.sin(?/6) = 2

Vậy nguyên hàm là F(x) = 4. sin
: a) Xác định A,B để : f(x) =
? A = 3 & A ? B = 1 ? B = ?2
b) Tìm họ nguyên hàm của f(x) .
a) Tìm A , B ?

b) Tìm họ nguyên hàm của f(x) .
F(x) =
Bài làm tại lớp �: a) Tìm nguyên hàm :
* 3 Củng cố và dặn dò :
Bài tập còn lại trang 118

Kính chào tạm biệt!
f(x) = 5 ? 2 cotg�2 x
= 3 ? 2(1 ? cotg2x) = 3 ? 2.
b)
Cho f(x) = x.ln x ? x2 (x > 0) . Tìm nguyên hàm của
hàm số : g(x) = lnx biết rằng nguyên hàm này
bằng ? 2 khi x = 2 . Đs : F(x) =
f(x)  (x2  x  ln4)
Kính chào !
Thầy
,
TIẾT 52 ? 53 ? 54
Diện tích hình thang cong :
Đọc trong sách giáo khoa trang 120
2) Định nghĩa tích phân :
Hàm số f(x) liên tục trên 1 khoảng K ; a , b là 2 phần tử
của K . F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K . Hiệu
F(b) ? F(a) : được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) .
Ký hiệu :
= F (b) ? F(a)
* Chuù yù : F(b) – F(a) =
* YÙ nghóa hình hoïc cuûa tích phaân :
Laø dieän tích hình thang cong giôùi haïn bôûi :
y = f(x) ; truïc Ox vaø caùc ñöôøng : x = a ; x = b
3) Caùc tính chaát cô baûn :
t biến thiên trên [a;b]
là 1 nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0
Chứng minh các tính chất này xem sách giáo khoa.
* Ví dụ :
Tính các tích phân sau :
Bài làm tại lớp �: Tính các tích phân :
* 3 Củng cố và dặn dò :
Bài tập 1;2;3;4 trang 128-129

Kính chào !

Kính chào !
Thầy
,
BÀI 4 : BÀI TẬP TÍCH PHÂN
1) Tính các tích phân :
= 36 ? 270 /ln3
2) Chứng minh bất đẳng thức :
?1 ? x ? 1 ? ?1 ? x3 ? 1 ? 7 ? 8 + x3 ? 9 ?
?
d)

7) Tính các tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối .
= 25/2 ? � = 13


. Củng cố và dặn dò :
Làm các bài tập còn lại s.g.k.trang 128 - 129

Kính chào !
Thầy
,
BÀI 5 : ÔN TẬP HỌC KỲ I
1) Khảo sát hàm số :
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị :
3) Dùng đồ thị giải và biện luận số nghiệm ptr .
4) Bài tập phối hợp .
Kính chào !
Thầy
,
BÀI 6 : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH
TÍCH PHÂN
1) PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
Đặt x = g(t) ? dx = g?(t).dt :
?
Cho
? a = g(?) ; b = g(?)
1) Ví dụ 1 :
b)
x: ?/6 ? ?/4 ? t: � ? ?2 /2
d)

? I =
x : 0 ? ?/2
? t và u : 0 ? 3? /2 và 3?
x: 0 ? ?/2 ? t: 4 ? 1
e)
 I =

h)
Ñaët tgx = t  dt = dx / cos2 x  x:[0 ; /4]  t:[0 ; 1]
x: 0 ? 1 ? t: 0 ? ?/2
f)
 I =

h)
Ñaët tgt = x  dx = dt / cos2 t  x:[0 ; 1]  t:[0 ; /4]
x: 0 ? 1/2 ? t: 0 ? ?/6
f)
 I =

h)
Ñaët
Bieán ñoåi x2 + x + 1 =
x: 0 ? 1 ? t: ?/6 ? ?/3

h)
Ñaët
x: 0 ? ?/2 ? t: ?/2 ? 0
Chứng minh :
1) Ví dụ 2 :
a)
Tính :
Ñaët
x: 0 ? 1 ? t: 1 ? 3
Có thể tính :
b)
Tính :
Có thể tính :
Đặt :
x : ?/3 ? 2?/3 ? t : ?/3 ? 4?/3
c)
Tính :
Có the � tính :
Đặt :
x : e ? e2 ? t : 1 ? 2
d)
Tính :
Có the � tính :
Đặt :
x : 0 ? 1 ? t : 1 ? 3
e)
Tính :
Có : x2 ? x ? 6 = (x ? 3) (x + 2)
Tìm 2 số A,B sao cho :
Dùng đồng nhất thức có : A + B = 5 ; 2A ? 3B = - 5
2) PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN :
?
Ví dụ :

1 : I =
I =

2 : I =
I =
5) I =


10) I =
14)

15)

Bài làm tại lớp �: Tính tích phân :
* 3 Củng cố và dặn dò :
Bài tập còn lại trang 129

Kính chào tạm biệt!

Kính chào !
Thầy
,
BÀI 7 : BÀI TẬP TÍCH PHÂN

1) Tính tích phân :
Ñaët sinx = t  dt = cosx dx ; x :[/6 ; /2]  t :[1/2 ; 1]
a)

b)
= 4/3
* Cách 2 : Đặt cosx = t ? dt = ? sinx.dx
x :[??/2 ; 0 ;?/2]? t :[0 ; 1 ; 0]

c)
Cách 2 : Đặt 1 ? cosx = t ? dt = ? sinx.dx
x :[0 ; ?/3]? t :[2 ; 3/2]

2) Tính tích phân :
a)
b)

c)

d)
e)

3 ) Tính tích phân :
a)

b)

c)
. Củng cố và dặn dò :
Làm các bài tập còn lại s.g.k.trang 134 - 136

Kính chào !
Kính chào !
Thầy
,
BÀI 8 : ỨNG DỤNG HÌNH HỌC VÀ
VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN

1) Tính diện tích của hình phẳng :
y1 = f1 (x)
y2 = f2 (x)
a
b
S
. Tính diện tích S hình phẳng :
. Công thức :

Chú ý : . |f1(x) ? f2(x)| = f1 ? f2 ? đồ thị y1 nằm trên y2
. Nếu a ? ? < ? ? b (? , ? là nghiệm f1 ? f2 = 0) thì :
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
y = sin x trên đoạn [0 ; 2?].
o

2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
y = sin2 x với 0 ? x ? ? .
Học sinh tự giải ; chú ý không phân đoạn ; Đs : ?/2

Ví dụ 3 : Tính diện tích hình phẳng nằm giữa các đường :
y = x3 ; y = 0 ; x = - 1 ; x = 2.
o
x
y
1 2
-1
-1
1
8
. Giải y1 ? y2 = 0 ? x3 ? 0 = 0
? x = 0 ? [-1 ; 2]

Ví dụ 4 : Tính diện tích hình phẳng nằm giữa 2 đường :
y1 = x3 ? 3x và y2 = x
. Giải y1 ? y2 = 0 ? x3 ? 4x = 0 ? x = 0 ; x = � 2

2 ) Diện tích của hình tròn và hình elíp.
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình tròn
. Cách tính : đặt x = R.sint ? dx = R.cost.dt
? x : - R ? R ? t : - ?/2 ? ?/2

Ví dụ 2 : Tính diện tích hình elíp :
. Cách tính : đặt x = a.sint ? dx = a.cost.dt
? x : 0 ? a ? t : 0 ? ?/2

3 ) Tính thể tích các vật thể .
. 1 : Công thức tính thể tích :
a) Khối nón , chóp :
là diện tích hình phẳng
. 2 : Thể tích khối nón , chóp , nón cụt và khối chóp cụt
b) Khối nón cụt , chóp cụt :

4 ) Thể tích vật thể tròn xoay .
. 1 : Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quay
quanh trục Ox :
o
x
y
y = f(x)
b
a
. 2 : Công thức tính thể tích vật
thể tròn xoay quay quanh trục Oy :
o
x
y
a
b

Ví dụ 1 .
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi
phép quay xung quanh trục Ox của :
y = sinx với 0 ? x ? ?
Ví dụ 2 .
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi
phép quay xung quanh trục Oy của hình S :

5 ) Tính thể tích khối cầu .
Khối cầu do đường tròn x2 + y2 = R2 quay quanh Ox :
o
x
y
-R
-R
R
R

6 ) Ứng dụng vào Vật lý:
Bài toán 1 :
Một dòng điện xoay chiều
chạy qua 1 đoạn mạch có điện trở thuần R . Hãy tính
Nhiệt lượng Q toả ra trên đoạn mạch đó trong thời gian
1 chu kỳ T .
Theo công thức :
Giải :

Bài toán 2 :
Đặt vào 1 đoạn mạch 1 hiệu điện thế xoay
lệch pha giữa dòng điện và hiệu điện thế . Hãy tính công
của dòng điện xoay chiều thực hiện trên đoạn mạch đó
Trong thời gian 1 chu kỳ T theo công thức :
Giải :
chiều
Khi đó trong mạch có dòng
điện xoay chiều
Với ? là độ
. Củng cố và dặn dò :
Làm các bài tập 1;2;3;4;5;6 s.g.k.trang 154;155

Kính chào !
Kính chào !
Thầy
,
BÀI 9 :
BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
a)
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
y = x2 + 1 ; x + y = 3
. x2 + 1 = 3 ? x ? x2 + x ? 2 = 0
? x = ? 2 ; x = 1
o
x
y
-2
1
3
1
5
2
3
b)
Cho hàm số y = f(x) =
a) Khảo sát (C) .
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , Ox ,x = 3 ; x = 4
c) Tính diện tích giới hạn bởi (C) ,tiệm cận xiên ; x = ?1 ; x = 0
d) Tính diện tích giới hạn bởi (C) , tiếp tuyến với (C) tại giao
điểm của (C) với trục tung và đường x = 1 .
a) Khảo sát .
D = R {2} ; y? =

BBT :
x  1 2 3 +
y’  0 + + 0 
+ + 3
y
1  
Đồ thị :
x
0
y
2
1
-1
1
3
-3

b) Tính diện tích hình phẳng : (C) ; Ox ; x = 3 ; x = 4
x
0
y
2
1
-1
1
3
-3
4
S

c) Tính diện tích hình phẳng : (C) ; TCX ; x = -1 ; x = 0
x
0
y
2
1
-1
1
3
-3
-1
S

d) Tính diện tích hình phẳng : (C) ; tiếp tuyến với (C)
tại giao của (C) với Oy và đường x = 1 .
x
0
y
2
1
-1
1
3
-3
-1
S
. Tiếp tuyến tại A (0 ; 3/2) :
? y = y?(0) . (x ? 0) + 3/2

y = ?
2) Tính thể tích hình phẳng quay quanh trục Ox :
: a) Khảo sát (C) : y =
b) Tính thể tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; tiệm
cận xiên và x = 3 ; x = 6 quay quanh trục Ox .
: a) Khảo sát (C) :
D = R {2}
; y? =

BBT :
x  -1 2 5 +
y’ + 0 - - 0 +
-8 + +

y
  4
Đồ thị :
x
0
y
2
-1
-2
5
4
-4
4
-8

b) Tính thể tích :
x
0
y
2
-1
-2
5
4
-4
4
-8
3
6
S

x
0
y
2
-1
-2
5
4
-4
4
-8
3
6
S
. Củng cố và dặn dò :
Làm các bài tập 1;2;3;4;5;6 s.g.k.trang 154;155
còn lại và tiếp các bài ôn tập chương III ? tr 156
Kính chào !
Kính chào !
Thầy
,
BÀI 9 : ÔN TẬP CHƯƠNG III :
1) Tính tích phân :
3) Bài tập phối hợp tính diện tích hình phẳng và thể tích
khối tròn xoay quay quanh trục Ox V Oy .
4) Làm các bài tập 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 156 s.g.k :
2) Khảo sát hàm số :
?
1) Tính tích phân :
1)
?
2)
Ñaët x4 + 1 = t  dt = 4x3 .dx
x : 0  1  t : 1  2
3) Học sinh tự giải :
?
4)
?
5)
6)
Tính diện tích giới hạn bởi các đường :
y = x2 ? 2x + 3 ; y = 5 ? x
x2 ? 2x + 3 = 5 ? x ? x2 ? x ? 2 = 0 ? x = ?1 ; x = 2
a) Khảo sát :
6)
Khảo sát 2 hàm số và tính toạ độ giao điểm của :
(C) : y = 2x3 ? 3x2 + 1 và (W) : y = ? 4x3 + 3x + 1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (W) .
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng
giới hạn bởi (C) , (W) , x = 0 , x = 1 khi quay quanh Ox .
d) Giải bất phươ g trình :
(4x3 ? 3x ? 1 + y) (2x3 ? 3x2 + 1 ? y) > 0
D = R ;
y? = 6x2 ?6x = 0 ? x = 0 ; 1
y? = ?12x2 + 3 = 0 ? x = ? 1/2
y?? = 12x ? 6 = 0 ? x = 1/2
y?? = ?24x = 0 ? x = 0
BBT
x ? ? 0 1 + ? x ? ? ? � � + ?

y? + 0 ? 0 + y? ? 0 + 0 ?

y

+ ?
y
? ?
1
0

+ ?
0
2
? ?
0
x
y
1
1
2
Tính toạ độ giao điểm
2x3 ? 3x2 + 1 = ? 4x3 + 3x + 1
? x (2x2 ? x ? 1) = 0
? x = ?1/2 ; x = 0 ; x = 1
? (? 1/2 ; 0) ; (0 ; 1) ; (1 ; 0)
0
x
y
1
1
2
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (W)
0
x
y
1
1
2
c) Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi (C) và (W) ;
x = 1 ; x = 0 quay quanh trục Ox.
- 1
0
x
y
1
1
2
d) Giải bất phương trình :
(2x3 ? 3x2 + 1 ? y ) (4x3 ? 3x + 1 ? y ) > 0
Vẽ 2 đồ thị (C) và (W) trên 1 hệ trục :
Chọn các điểm thuộc các
vùng khác nhau trên đồ thị
nằm trong khung vuông.
+ ) A(1;2)
thay vô bptr
không thoả ? VN
A(1;2)
+ ) B(3;0)
B(3;0)
thay vô bptr
thoả ? bpt có nghiệm
+ ) O(0;0)
thay vô bptr
không thoả ? VN
+ ) Các điểm C(-3;0)
C(-3;0)
; D(-1/3;1/2)
D(-1/3;1/2)
; E(1/2;3/2)
E(1/2;3/2)
thoả
. Củng cố và dặn dò :
Làm các bài tập còn lại ôn tập chương III ? tr 156
Kính chào !