Chương III. §1. Nguyên hàm

Kiểm tra bài cũ
Câu 1: Phát biểu định lý Lagzăng?
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và có đạo hàm trên khoảng ( a; b) thì tồn tại 1 điểm c thuộc khoảng (a;b) sao cho
f(b) ? f(a) = f? (c)( b ? a).
Câu 2: Cho hàm số f(x) = 2x.
Tìm hàm số F (x) sao cho F? (x) = 2x
Bài toán vật lý
Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm
Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t)
Trong thực tế có khi ta gặp bài toán ngược là biết vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t)
Từ đó ta có bài toán : Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F’(x)=f(x)
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là nhữnghàm số nào
a. F(x) = x2
b. F(x) = x2 + 3
c. F(x) = x2 - 4
d. Tất cả các hàm số trên
Hãy chọn phương án đúng
Nhận xét
Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng số tùy ý) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R
Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là nguyên hàm của hàm số trªn các khoảng x¸c ®Þnh.
Tổng quát ta có định lý
Định lý
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) thì:
*Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó.
*Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C là một hằng số.
Chứng minh bổ đề
Xét phần tử cố định x0(a;b).
Với mọi x (a;b),
+ nếu x=x0 thì F(x)=F(x0),
+ nếu x≠x0thì theo định lí Lagrăng
tồn tại một số c nằm giữa xo và x sao cho
F(x)-F(x0)=F’(c)(x-x0)
Vì c (a;b) nên F’(c)=0. Vậy ta có
F(x)-F(x0)=0 hay F(x)=F(x0)
Vậy với mọi x (a;b) ta có F(x)=F(x0). Do đó F(x) là một hàm số không đổi trên khoảng (a;b)

Chứng minh định lí
1 Theo giả thiết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b).
Vì vậy ( F(x) + C )?
= F? (x) + 0
= f(x)
2. Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) tức là G’(x)=f(x) với mọi x(a;b). Khi đó
(G(x)-F(x))’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0
Theo bổ đề thì G(x)-F(x)
là hàm số không đổi trên (a;b).
Vậy x(a;b) ta có G(x)-F(x)=C, với C là một hằng số bất kỳ, hay G(x)=F(x)+C
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) thì {F(x)+C ,C R} là họ các nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó

Qua bài học ta đã biết
- Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước
Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C
Bài tập 1
Chứng minh với 0 < a  1
Hàm số là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
a.
b.
c.
d.
2. Xác định a để hàm số là một nguyên hàm của hàm số  trên
3. Cho và . Xác định a, b để F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên
4. Xác định a, b, c sao cho hàm số F(x)=(ax2+bx+c)e-x là một nguyên hàm của hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x trên R
Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
a.
b.
c.
d.
Bài tập Tìm F(x) biết và F(1)=3
Hướng dẫn:
F(x)=x2+C
Mà F(1)=3 ? 1+C=3?C=2
Vậy F(x)=x2+2