Chương III. §1. Nguyên hàm

Chương III :
Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Bài 1
Biên soạn :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình sách giáo khoa mới của bộ GD – ĐT 2008
click
(Khi sử dụng nên chuyển về chế độ : on click để chủ động – xử lý)
I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm :
Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu :
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R .
Định nghĩa :
Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
Nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K
Ví dụ 1 :
a) Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x2 trên (- ; +∞) , vì F’(x) = (x3)’ = 3 x2 với mọi x  (- ; +∞)
b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số
Vì
Nêu thêm một số ví dụ khác :
c) Hàm số F(x) = 3x2 + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R
d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số :
click
Định lý 1 :
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .
Hãy tự chứng minh định lý này .
Định lý 2 :
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số .
Chứng minh :
Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x  K . Khi đó (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 , x  K
Vậy G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K , nên G(x) – F(x) = C
Hay G(x) = F(x) + C mọi x  K
F(x) + C , C  R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :
Chú ý ;
Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f9x0 , vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx
Ví dụ 2 :
a) Với x  (-  ; +  ) ,
Chú ý ;
Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f9x0 , vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx
a) Với x  (-  ; +  ) ,
b) Với x  ( 0 ; +  ) ,
c) Với x  ( -  ; +  ) ,
click
2. Tính chất của nguyên hàm :
Tính chất 1 :
Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm .
Ví dụ 3 :
Tính chất 2 :
Chứng minh :
Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x)
Vì k ≠ 0 nên
Theo t/c 1 ta có :
Tính chất 3 :
Tự chứng minh t/c này
click
Ví dụ 4 :
Tìm nguyên hàm của hàm số
Giải :
Với x  ( 0 ; + ∞) , ta có :
3. Sự tồn tại của nguyên hàm :
Định lý 3 :
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K , đều có nguyên hàm trên K .
Công nhận định lý này .
Ví dụ 5 :
a) Hàm số
Có nguyên hàm trên ( 0 ; +  )
b) Hàm số
Có nguyên hàm trên ( k ; (k+1) ) , kZ
click
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
Ví dụ 6 :
Tính :
click
Chú ý ; Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
II - PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số :
a) Cho :
Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )10 dx , theo u và du
b) Cho :
Đặt x = et . Hãy viết biểu thức trong dấu  , theo t và dt
Định lý 1 :
Nếu .
Và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì :
Chứng minh :
Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x)
vì : F’(u) = f(u) = f(u(x)) nên (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)
click
Hệ quả :
Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có
Ví dụ 7 :
Tính :
Giải :
Vì
Nên theo hệ quả ta có :
Chú ý ; Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) .
Ví dụ 8 :
Tính :
Giải :
Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và
Khi đó :
Thay u = x + 1 vào kết quả , có :
click
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :
Ta có : (x.cos x)’ = cos x – x.sin x Hay - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính :
Từ đó tính :
Định lý 2 :
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :
Chứng minh :
Theo công thức đạo hàm của tích , có : (u.v)’ = u’.v + v’.u
Hay u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có :
Vậy có :
Chú ý ; Công thức trên còn được viết dưới dạng :
Ví dụ 9 :
Tính :
Giải :
a) Đặt u = x và dv = ex .dx , thì du = dx và v = ex nên có :
click
b) Đặt u = x và dv = cos x .dx , thì du = dx và v = sin x nên có :
c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì
và v = x . Do đó :
Bài củng cố ; Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân từng phần .
P(x)
?????
P(x)
?????
cosx.dx
?????
lnx.dx
?????
Ví dụ trắc nghiệm :
Tính :
Kết quả là :
A
B
C
D
3. Bài tập về nhà :
Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 100 sách giáo khoa GT 12 - 2008