Chương III. §1. Nguyên hàm

NGUYÊN HÀM
I.Nguyên hàm và tính chất
1.Nguyên hàm
Ví dụ 1: Tìm các đạo hàm sau

Khi đó ta nói :
là một nguyên hàm của trên R.
là một nguyên hàm của
trên
là một nguyên hàm của trên R.
Từ đó ta có định nghĩa :
Cho hàm số f(x) xác định trên K, K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), .
Ví dụ 2: Tìm một số nguyên hàm của các hàm số sau:
Ta có định lý:
a) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
b) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số.
Chứng minh:
a) Đặt G(x) = F(x) + C, khi đó : G’(x) = F’(x) = f(x). Vậy G(x) cũng là nguyên hàm của f(x) trên K.
b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K, khi đó G’(x) = f(x), .
Đặt H(x) = G(x) – F(x). Khi đó:
H’(x) = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0, . Suy ra : H(x) = C, C là hằng số.
Vậy : G(x) = F(x) + C, .
Khi đó ta gọi F(x) + C là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K và ký hiệu là :


dấu được gọi là dấu tích phân,biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân.
Ví dụ 3: Theo ví dụ 2 và ký hiệu trên ta có :
Ví dụ 4: Tìm một nguyên hàm F(x) của trên R thỏa mãn: F(1) = 4.
Ta có : .


Vậy :


Chú ý :
1) Từ định nghĩa và ký hiệu nguyên hàm ta có:
Ví dụ 5: Ta có:
2) Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của F(x) trên K.
Khi đó ta có thể viết :
(*)
Ví dụ 6: Tìm các nguyên hàm sau:
=
2.Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:
Chứng minh:
Giả sử
Tính chất này còn có thể phát biểu dưới dạng sau:
Thật vậy: Ta có:
, do (*).
Ví dụ 7: Ta có:
Tính chất 2:
, k là hằng số thực khác 0.
Vì
nên :
.
Từ đó theo tính chất 1 ta có :
, do (**)
Chứng minh:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của k.f(x), ta có :
k.f(x) = F’(x) (**)
Ví dụ 8: Tìm các nguyên hàm :

Tính chất 3:
Ví dụ 9: Tìm các nguyên hàm sau:
=
Bài giảng đến đây là kết thúc.
Xin chân thành cảm ơn và kính chúc sức khỏe các quý thầy cô và các em học sinh.