Chương III. §1. Nguyên hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG
TRƯỜNG THPT LÊ THỊ PHA
§1.
§2.
§3.
§1.
I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1.Nguyên hàm:
2.Tính chất của nguyên hàm :
3.Sự tồn tại nguyên hàm:
4.Bảng nguyên hàm của
một số hàm số thường gặp:
II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:
1.Phương pháp đổi biến số:
Phương pháp tính nguyên
hàm từng phần:
I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1.Nguyên hàm:
Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu :
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R .
Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K.
Ví dụ 1:
Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x2 trên (- ; +∞) , vì F’(x) = (x3)’ = 3 x2 với mọi
x  (- ; +∞)
b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số
Vì
Nêu thêm một số ví dụ khác:
c) Hàm số F(x) = 3x2 + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R
d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số :
Định lý 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .
Hãy tự chứng minh định lý này.
Định lý 2:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng
F(x) + C , với C là một hằng số .
Chứng minh:
Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x  K . Khi đó :
(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 ,
x  K.
Vậy: G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K .
Ta có : G(x) – F(x) = C
Hay: G(x) = F(x) + C với mọi x  K .
F(x) + C , C  R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :
Ví dụ 2 :
Chú ý :

Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x ), vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx
a) Với x  (-  ; +  ) ,
b) Với x  ( 0 ; +  ) ,
c) Với x  ( -  ; +  ) ,
2.Tính chất của nguyên hàm :
Tính chất 1:
Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm .
Ví dụ 3:
Tính chất 2:
Chứng minh:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x)
Vì k ≠ 0 nên
Theo t/c 1 ta có :
Tính chất 3:
Tự chứng minh t/c này.
Ví dụ 4:
Tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải:
Với x  ( 0 ; + ∞) , ta có :
3.Sự tồn tại của nguyên hàm:
Định lý 3:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
Công nhận định lý này .
Ví dụ 5:
a) Hàm số
Có nguyên hàm trên ( 0 ; +  )
b) Hàm số
Có nguyên hàm trên ( k ; (k+1) ) , kZ
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
Ví dụ 6:
Tính:
Chú ý: Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG
TRƯỜNG THPT LÊ THỊ PHA
II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:
1.Phương pháp đổi biến số :
a) Cho :
Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )10 dx , theo u và du
b) Cho :
Đặt x = et . Hãy viết biểu thức trong dấu  , theo t và dt
Định lý 1:
Nếu
và u = u(x) là hàm số
Chứng minh:
Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , ta có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x)
vì : F’(u) = f(u) = f(u(x))
 (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)
có đạo hàm liên tục thì :
Hệ quả:
Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có
Ví dụ 7:
Tính:
Giải:
Vì
nên theo hệ quả ta có :
Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới
u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) .
Ví dụ 8:
Tính :
Giải:
Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và
Khi đó :
Thay u = x + 1 vào kết quả , có :
2.Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Ta có: (x.cos x)’ = cos x – x.sin x
Hay: - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính :
Từ đó tính :
Định lý 2:
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :
Chứng minh :
Theo công thức đạo hàm của tích , ta có :
(u.v)’ = u’.v + v’.u
Hay : u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có :
Vậy:
Chú ý : Công thức trên còn được viết dưới dạng :
b) Đặt u = x và dv = cos x .dx
c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì
và v = x . Do đó:
a) Đặt u = x và dv = ex .dx , thì du = dx và v = ex nên có :
Giải:
Tính:
Ví dụ 9 :
thì du = dx và v = sin x nên có :
Bài củng cố : Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân từng phần .
P(x)
?????
P(x)
?????
cosx.dx
?????
lnx.dx
?????
Bài tập về nhà:
Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 100 sách giáo khoa GT 12 - 2008 .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG
TRƯỜNG THPT LÊ THỊ PHA
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG
TRƯỜNG THPT LÊ THỊ PHA