Chương III. §1. Nguyên hàm

Giáo viên soạn: Trần Trọng Tiến
Nguyên hàm
Kiểm tra bài cũ
Hãy nêu bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp đã học?
Vấn đề đạt ra là nếu biết đạo hàm của một hàm số thì ta có thể tìm được hàm số đã cho không? Để giải quyết vấn đề này ta vào bài nguyên hàm.
Nguyên hàm
giải
Vậy hai hàm số cần tìm là:
a) F(x) = x3
b) F(x) = tan x với
1. Nguyên hàm.
Nguyên hàm
1. Nguyên hàm.
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R
Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên
hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F’(x)=f(x) với mọi
Ví dụ 1.
a) Hàm số F(x) = x2 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R vì F’(x) = 2x.
b) Hàm số F(x) = ln x là nguyên hàm của
hàm số vì F’(x)
Hoạt động 2. Hãy nêu nguyên hàm của các hàm số khác của các hàm số nêu trong ví dụ 1.
cos x
ln (3x2+x)
3.43x.ln 4
Nguyên hàm
1. Nguyên hàm.
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R
Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên
hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F’(x)=f(x) với mọi
Định lí 1.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K thì G(x)=F(x)+C
cũng là một nguyên hàm của hàm
số f(x) trên K.
Hoạt động 3. Hãy chứng minh định lí 1.
Giải
Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên ta có F’(x) = f(x)
Khi G’(x) = F’(x)+(C)’= f(x)
Vậy G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Nguyên hàm
1. Nguyên hàm.
Định lí 2.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên
hàm của hàm số f(x) trên K đều có
dạng F(x)+C, với C là một hằng số.
Kí hiệu:
Biểu thức chính là vi
phân của nguyên hàm F(x) của
f(x), vì d(F(x)=F’(x)dx=f(x)dx
Ví dụ 2.
Nguyên hàm
1. Nguyên hàm.
Định lí 2.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên
hàm của hàm số f(x) trên K đều có
dạng F(x)+C, với C là một hằng số.
Kí hiệu:
Biểu thức chính là vi
phân của nguyên hàm F(x) của
f(x), vì d(F(x)=F’(x)dx=f(x)dx
Ví dụ 3.
2. Tính chất của nguyên hàm
Ví dụ 4.
Ví dụ 5.
Nguyên hàm
2. Tính chất của nguyên hàm
3. Sự tồn tại của các nguyên hàm
Định lí 3.
Mọi hàm số liên tục trên K đều có
nguyên hàm trên K.
Ví dụ 6.
a) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng và
b) Hàm số có nguyêm
hàm trên từng khoảng
và
Nguyên hàm
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Bảng các nguyên hàm
Nguyên hàm
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Bảng các nguyên hàm
Ví dụ 6. Tính
trên
Giải
Với ta có
Nguyên hàm
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Bảng các nguyên hàm
Ví dụ 6. Tính
trên
Giải
Với ta có
Chú ý: tìm nguyên hàm của một hàm số là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
Nguyên hàm
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Bảng các nguyên hàm
Ví dụ 6. Tính
trên
Giải
Nguyên hàm
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Bảng các nguyên hàm
Ví dụ 6. Tính
Giải
Nguyên hàm
Ví dụ 7. Giả sử đã tồn tại các nguyên hàm sau. Hãy tính các nguyên hàm đó
Nguyên hàm
Ví dụ 7. Giả sử đã tồn tại các nguyên hàm sau. Hãy tính các nguyên hàm đó
Nguyên hàm
Nhắc lại định nghĩa vi phân đã học của hàm số y= f(x)
Kiểm tra bài cũ
Hãy cho biết vi phân của hàm tích y = u(x). v(x)
Sau đây ta đi nghiên cứu ứng dụng của vi phân trong việc tìm nguyên hàm.
Nguyên hàm
II. Các phương pháp tính nguyên hàm
1. PP đổi biến số
Hoạt động 6.
Cho Đặt u = x-1, hãy viết (x-1)10dx theo u và du.
Cho . Đặt x= et, hãy viết theo t và dt
Giải
Đặt u=x-1 => du =
(x-1)’dx=dx
(x-1)10dx =
u10du
a)
Đặt x= et => dx =
(et)’dt= etdx
b)
Nguyên hàm
II. Các phương pháp tính nguyên hàm
1. PP đổi biến số
Định lí 1.
Nếu = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
Chứng minh
Theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta có
Vì F’(u) = f(u) = f(u(x)) nên

Như vậy, công thức đúng khi u là biến số độc lập thì cũng đúng khi u là một hàm số của một biến số độc lập x.
Hệ quả
Với u = ax + b , ta có
Nguyên hàm
II. Các phương pháp tính nguyên hàm
1. PP đổi biến số
Định lí 1.
Nếu = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
Hệ quả
Với u = ax + b , ta có
Ví dụ: Tính các nguyên hàm sau:
Đặt u=5x+2 => du =
(5x+2)’dx = 5dx
Đặt u=3x-1 => du =
(3x-1)’dx = 3dx
Nguyên hàm
II. Các phương pháp tính nguyên hàm
1. PP đổi biến số
Định lí 1.
Nếu = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
Hệ quả
Với u = ax + b , ta có
Ví dụ: Tính các nguyên hàm sau:
Đặt u=sin x =>
du=(sin x)’dx = cos xdx
Đặt u=x2+x+2
(x2+x+2)’dx = (2x+1)dx
du=(sin x)’dx = cos xdx
=> du =
Nguyên hàm
II. Các phương pháp tính nguyên hàm
2. Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần
Định lí 2.
Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
Chú ý
Vì v’(x)dx = dv, u’(x)dx= du nên đẳng thức trên có thể viết ở dạng
Hoạt động 7.
Ta có (x cos x)’ = cos x – x sin x
Hay –xsin x = (x cos x)’ - cos x
Hãy tính các nguyên hàm sau:
Từ đó tính
Giải
= x cos x – sin x +C (với C= C1 – C2)
Nguyên hàm
II. Các phương pháp tính nguyên hàm
2. Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần
Định lí 2.
Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
Chú ý
Vì v’(x)dx = dv, u’(x)dx= du nên đẳng thức trên có thể viết ở dạng
Ví dụ 9. Tính
Giải
a) Đặt
b) Đặt
Nguyên hàm
II. Các phương pháp tính nguyên hàm
2. Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần
Định lí 2.
Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
Chú ý
Vì v’(x)dx = dv, u’(x)dx= du nên đẳng thức trên có thể viết ở dạng
Ví dụ 9. Tính
Giải
c) Đặt
Nguyên hàm
II. Các phương pháp tính nguyên hàm
2. Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần
Định lí 2.
Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
Chú ý
Vì v’(x)dx = dv, u’(x)dx= du nên đẳng thức trên có thể viết ở dạng
Hoạt động 8. Phương pháp tính tích phân từng phần
Củng cố và dăn dò
Qua bài học học sinh cần nắm được
* Phương pháp đổi biến số
* Phương pháp tích phân từng phần
* Làm các bài tập trong SGK tr 100 và 101
* Muốn tìm được nguyên hàm của một hàm số thì ta biến đổi đưa về bảng các nguyên hàm.