Chương III. §1. Nguyên hàm

§1.
§2.
§3.
§1.
I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1.Nguyên hàm:
2.Tính chất của nguyên hàm :
3.Sự tồn tại nguyên hàm:
4.Bảng nguyên hàm của
một số hàm số thường gặp:
II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:
1.Phương pháp đổi biến số:
Phương pháp tính nguyên
hàm từng phần:
I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1.Nguyên hàm:
Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu :
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R .
Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K.
Ví dụ 1:
Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x2 trên (- ; +∞) , vì F’(x) = (x3)’ = 3 x2 với mọi
x  (- ; +∞)
b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số
Vì
Nêu thêm một số ví dụ khác:
c) Hàm số F(x) = 3x2 + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R
d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số :
Định lý 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .
Hãy tự chứng minh định lý này.
Định lý 2:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng
F(x) + C , với C là một hằng số .
Chứng minh:
Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x  K . Khi đó :
(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 ,
x  K.
Vậy: G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K .
Ta có : G(x) – F(x) = C
Hay: G(x) = F(x) + C với mọi x  K .
F(x) + C , C  R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :
Ví dụ 2 :
Chú ý :

Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x ), vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx
a) Với x  (-  ; +  ) ,
b) Với x  ( 0 ; +  ) ,
c) Với x  ( -  ; +  ) ,
2.Tính chất của nguyên hàm :
Tính chất 1:
Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm .
Ví dụ 3:
Tính chất 2:
Chứng minh:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x)
Vì k ≠ 0 nên
Theo t/c 1 ta có :
Tính chất 3:
Tự chứng minh t/c này.
Ví dụ 4:
Tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải:
Với x  ( 0 ; + ∞) , ta có :
3.Sự tồn tại của nguyên hàm:
Định lý 3:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
Công nhận định lý này .
Ví dụ 5:
a) Hàm số
Có nguyên hàm trên ( 0 ; +  )
b) Hàm số
Có nguyên hàm trên ( k ; (k+1) ) , kZ
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
Ví dụ 6:
Tính:
Chú ý: Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:
1.Phương pháp đổi biến số :
a) Cho :
Đặt u = x – 1 . Hãy viết (x – 1 )10 dx , theo u và du
b) Cho :
Đặt x = et . Hãy viết biểu thức trong dấu  , theo t và dt
Định lý 1:
Nếu
và u = u(x) là hàm số
Chứng minh:
Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , ta có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x)
vì : F’(u) = f(u) = f(u(x))
 (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)
có đạo hàm liên tục thì :
Hệ quả:
Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có
Ví dụ 7:
Tính:
Giải:
Vì
nên theo hệ quả ta có :
Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới
u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) .
Ví dụ 8:
Tính :
Giải:
Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và
Khi đó :
Thay u = x + 1 vào kết quả , có :
2.Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Ta có: (x.cos x)’ = cos x – x.sin x
Hay: - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x . Hãy tính :
Từ đó tính :
Định lý 2:
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :
Chứng minh :
Theo công thức đạo hàm của tích , ta có :
(u.v)’ = u’.v + v’.u
Hay : u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có :
Vậy:
Chú ý : Công thức trên còn được viết dưới dạng :
b) Đặt u = x và dv = cos x .dx , thì du = dx và v = sin x nên có :
c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì
và v = x . Do đó:
a) Đặt u = x và dv = ex .dx , thì du = dx và v = ex nên có :
Giải:
Tính:
Ví dụ 9 :
Bài củng cố : Cho P(x) là đa thức của x . Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân từng phần .
P(x)
?????
P(x)
?????
cosx.dx
?????
lnx.dx
?????
Bài tập về nhà:
Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 100 sách giáo khoa GT 12 - 2008 .