Chương III. §1. Hệ tọa độ trong không gian

Tiết 37, 38 hệ toạ độ Đêcac vuông góc trong không gian.
Toạ độ của véc tơ và của điểm
Những nội dung chính:
1. Hệ toạ độ Đêcac vuông góc trong không gian
2. Toạ độ của véc tơ đối với hệ toạ độ

3. Toạ độ của điểm đối với hệ toạ độ
M
Câu hỏi 1:
Em hãy nhắc lại định nghĩa hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy trong mặt phẳng ?
Hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy trong mặt phẳng:
Trục ox gọi là:
O
x
y
Gồm hai trục Ox, Oy vuông góc tại gốc toạ độ O

trục hoành
Trục oy gọi là:
trục tung
Hai véc tơ đơn vị là hai véc tơ vuông góc nên:
=
0
Và
1.
là hai vectơ đơn vị
1. Hệ toạ độ Đêcac vuông góc trong không gian
* Định nghĩa:

Trục ox gọi là:
(SGK/60 )

trục hoành
Trục oy gọi là:
trục tung
Trục oz gọi là:
trục cao
Em có nhận xét gì về ba véc tơ đơn vị ?
Ba véc tơ đơn vị là ba véc tơ đôi một vuông góc
nên:
=
0
Và
1.
2. Toạ độ của véc tơ đối với hệ toạ độ
Cho hệ trục toạ độ Oxyz

và một véctơ tuỳ ý

Em có nhận xét gì về sự đồng phẳng của ba véc tơ đơn vị ?
ba vectơ
không đồng phẳng nên:
có duy nhất bộ ba số (x; y; z) sao cho:
Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của
,và kí hiệu là:
(x; y; z)
hoặc
= (x; y; z)
(x; y; z)
hoặc
= (x; y; z)
Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của
hoặc
Như vậy:
= (x; y; z)
Ví dụ1: Viết toạ độ của vectơ sau đây:
Giải:
(3; -4; 5)
Ví dụ2: Toạ độ của véc tơ
là:
A
B
C
(7; - 8)
(7; 0; - 8)
(7; -8; 0)
ĐA
D
(7; 0; 8)
Ví dụ 3:
Viết toạ độ các Vectơ sau dưới dạng
(-2; 3; 5)
(3; 0; -8)
Giải:
Bài tập tương tự: Bài 2 SGK
O
x
y
z
Chú ý:
a) Cho vectơ
A
A3
A1
A2
khi đó có duy nhất một điểm A để
A`
Gọi hình chiếu vuông góc của của điểm A lên các trục Ox, Oy, Oz và mp Oxy theo thứ tự là A1, A2, A3 và A`
Ta có:
Vậy x, y, z là toạ độ tương ứng của các điểm A1, A2, A3 trên các trục Ox, Oy, Oz.
O
x
y
z
Chú ý:
b) Nếu
A
A3
A1
A2
= (x; y; z) thì:
A`
c) Từ định nghĩa toạ độ của một vectơ suy ra: hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi:
các toạ độ của chúng bằng nhau
Em hãy chứng minh kết quả trên ?
3.Định lí
Trong hệ toạ độ Oxyz, nếu
= (x; y; z),
= (x`; y`; z`) thì:
(x + x`; y + y`; z + z`)
(x - x`; y - y`; z - z`)
(kx; ky; kz)
k
Chứng minh: SGK/63
Ví dụ: Cho ba vectơ
Tìm toạ độ của vectơ
Giải:
(4; -10; 6),
(0; 10; - 5),
(3; -7; -1).
Bài tậptương tự: bài 3 SGK/66
Quytắc: cộng tương ứng các toạ độ của hai véc tơ
4. Toạ độ của điểm đối với hệ toạ độ
Định nghĩa: (SGK/63)
O
x
y
z
Như vậy toạ độ của vectơ

được gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ đó
M(x; y; z)
hoặc
M= (x; y; z)
Ký hiệu:
Vậy:
M
M`
z
y
x
5. Định lí (SGK/64)
Cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB)
O
x
y
z
Thì:

Ví dụ:
Cho ba điểm
A= (1; 3; 1)
Chứng minh: SGK
M
M`
z
y
x
(xB - xA; yB - yA; zB - zA)
B= (0; 1; 2)
C= (0; 0; 1)
Tìm toạ độ các vectơ:
Giải:
(-1; -2; 1)
(-1; -3; 0)
Từ kết quả trên các đồng chí và các em hãy chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng ?
Nhận xét:
vì -1:-2:1 ? -1:-3:0
nên
Không cùng phương
suy ra A, B, C không thẳng hàng.
Quytắc: Lấy toạ độ điểm cuối trừ tương ứng toạ độ điểm đầu
Bài tập tương tự: Bài 9 SGK/67
6. Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước.
Bài toán: (SGK/64 )
M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k:
B
A
M
Hãy tìm toạ độ điểm M nếu biết: A(xA; yA; zA)
và B(xB; yB; zB)
Kết quả:
Đặc biệt nếu M là trung điểm của AB thì:
Đặc biệt nếu M là trung điểm của AB thì:
Quytắc: Toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng bằng trung bình cộng các toạ độ tương ứng của hai điểm mút của đoạn thẳng ấy.
Ví dụ:
Cho hai điểm
A= (1; 3; 1)
B= (0; 1; 2)
tìm toạ độ trung điểm M của AB
Đáp số:
M= ( ; ; )
2
Chú ý: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC với:
A(xA; yA; zA) B(xB; yB; zB) và C(xC; yC; zC) thì :
Quytắc: Toạ độ trọng tâm của một tam giác bằng trung bình cộng các toạ độ tương ứng của ba đỉnh trong tam giác ấy.
A
B
C
G
Bài tập về nhà
Bài 1, 2,3, 5, 6 SGK/59
Bài học đến đây kết thúc
Chúc các đồng chí học viên và các em học sinh học tập tốt !