Chương III. §1. Hệ tọa độ trong không gian

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách giáo khoa 2008
Click
Bài 1 :
I. Tọa độ của điểm và của vectơ
1) Hệ tọa độ :
Trong không gian cho 3 trục x’Ox ; y’Oy ; z’Oz. vuông góc với nhau từng đôi một . Gọi
là các véc tơ đơn vị trên các trục đã cho
z’
Hệ trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz trong không gian
Đơn giản gọi : Hệ tọa độ Oxyz
Điểm O gọi là gốc tọa độ
Các mặt phẳng (Oxy) ;
(Oyz) ;
(Ozx) ;
Đôi một vuông góc được gọi là các mặt phẳng tọa độ
Không gian với hệ trục Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz
Vì
là các véc tơ đơn vị và đôi một vuông góc nên
và
O
x’
x
y’
y
z
Click
Trong không gian Oxyz , cho một điểm M . Hãy phân tích véc tơ
theo 3 véc tơ
không đồng phẳng
đã cho trên các trục Ox ; Oy : Oz
2. Tọa độ của một điểm :
O
x
y
z
M
Trong không gian Oxyz , cho 1 điểm M tùy ý .
Vì
không đồng phẳng nên có 1 bộ
ba số ( x ; y ; z) duy nhất sao cho
x
y
z
Ngược lại với bộ ba số ( x ; y ; z) ta có một
điểm M duy nhất trong không gian thỏa :
Ta gọi bộ 3 số ( x ; y ; z) đó là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đã cho và viết :
M = ( x ; y ; z) hay M(x ; y ; z)
3. Tọa độ của một véctơ :
Trong không gian Oxyz , cho 1 vectơ
Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1;a2;a3)
sao cho :
Vậy : tọa độ của véctơ
Do đó M(x ; y ;z)
Click
M (x ; y ; z)
Ví dụ minh họa :
Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
điểm A trùng với gốc O , có
theo thứ tự cùng hướng với
và có AB = a ; AD = b ; AA’ = c . Hãy tính tọa độ các véc tơ :
trong đó M là trung điểm của C’D’ .
O = A
y
z
C’
B
D
A’
C
B’
D’
a
b
c
M
Thầy trò cùng đi tìm ….?
Click
x
II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Định lí :
Trong không gian cho 2 vectơ
Trong đó k là một số thực
Chứng minh :
Theo giả thiết :
Vậy :
Chứng minh tương tự cho b) và c)
Click
Hệ quả :
a) Cho 2 vectơ
Ta có :
b) Vectơ
c) Vectơ
thì hai vectơ
cùng phương khi và chỉ khi có số k
sao cho : a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; a3 = kb3 .
d) Trong không gian Oxyz , nếu cho 2 điểm A(xA ; yA ; zA) và B(xB ; yB ; zB)
Thì :
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là :
Bài tập thêm :
Trong kg Oxyz cho 3 điểm A(xA ; yA ; zA) ; B(xB ; yB ; zB) ; C(xC ; yC ;zC)
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là :
Click
III. Tích vô hướng .
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng .
Định lí :
Trong không gian Oxyz , tích vô hướng của 2 vectơ
được xác định bởi :
Chứng minh :
Áp dụng :
và
Có đpcm
2. Ứng dụng .
a) Độ dài của một vectơ
b) Khoảng cách giữa 2 điểm :
Cho 2 điểm A(xA ; yA ; zA) và B(xB ; yB ; zB)
Click
c) Góc giữa 2 vectơ :
Cho 2 vectơ
và góc  giữa 2 vectơ là :
Ta có :
Qua đó suy ra
Bài tập cùng làm tại lớp :
Vơi hệ Oxyz cho
Hãy tính :
Click
IV. Phương trình mặt cầu .
Định lí :
Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I (a ; b ; c) , bán kính r có phương trình :
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2
Chứng minh :
Giả sử điểm M thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r
I(a ; b ; c)
M(x ; y ; z)
r
Nên có M (S)
Bài tập cùng làm tại lớp :
Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3) có bán kính r = 5
Chú ý :
Phương trình mặt cầu có thể viết :
(S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 trong đó d = a2 + b2 + c2 – r2
Cũng chứng minh được pt mặt cầu : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0
Trong đó r2 = A2 + B2 + C2 - D > 0 ; tâm I(-A;-B;-C)
Click
Ví dụ :
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :
x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0
Giải :
Ta có :
(S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Vậy tâm I ( -2 ; 1 ; -3)
d = a2 + b2 + c2 – r2
Nên r2 = (-2)2 +12 +(-3)2 – 5 = 9  r = 3
Bài tập trắc nghiệm :
I - Trong kg Oxyz cho 3 véc tơ :
Hãy trả lời các câu hỏi sau :
1. Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào sai ?
A :
B :
C :
D :
Click
2) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?
A
B
C
D
3) Cho hình bình hành OADB có
A
(O là gốc tọa độ ) > Tọa độ của tâm hình bình hành OADB là :
(0 ; 1 ; 0)
B
(1 ; 0 ; 0)
C
(1 ; 0 ; 1)
D
(1 ; 1 ; 0)
Click
II - Trong kg Oxyz cho 4 điểm : A(1;0;0) B(0;1;0) C(0;0;1) và D(1;1;1)
1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Tọa độ điểm G là trung điểm của MN là :
A
B
C
D
2. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là :
A
B
C
D
Click
V. Bài tập :
Bài tập về nhà 1;2;3;4;5;6 trang 68 sgk hh12 - 2008