Chương III. §1. Hệ tọa độ trong không gian

Giáo viên soạn: Trần Trọng Tiến
Hệ toạ độ trong không gian
I. Toạ độ của điểm và của véctơ
1. Hệ toạ độ
Trong không gian, cho ba trục x`Ox, y`Oy, z`Oz vuông góc với nhau đôi một. Gọi i , j , k lần lượt là các véctơ đơn vị trên các trục x`Ox, y`Oy, z`Oz.
Hệ gồm ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Đề - Các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản hơn gọi là hệ toạ độ Oxyz.
Điểm O được gọi là gốc toạ độ.
Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ.
Không gian toạ độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.
Vì i , j , k đôi một vuông góc nên:
Trần Trọng Tiến
Đình Lập
I. Toạ độ của điểm và của véctơ
1. Hệ toạ độ
Hoạt động 1. Trong không gian Oxyz cho điểm M. Hãy phân tích véctơ OM theo ba vectơ không đồng phẳng i , j , k đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz.
Giải
Dựng hình hộp OM1M`M2.M3M```MM``
Khi đó OM1 , OM2, OM3 cùng phương
với các vectơ i , j , k . Khi đó ta có
Trần Trọng Tiến
Đình Lập
I. Toạ độ của điểm và của véctơ
2. Toạ độ của điểm
O
y
x
z
M
M2
M`
M1
M3
M```
M``
Trong không gian Oxyz cho điểm M tuỳ ý. Vì ba vectơ i , j , k không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho
Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có duy nhất một điểm M trong không gian thoả mãn hệ thức
Ta gọi bộ ba số (x; y; z) đó là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz đã cho và viết:
M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z).
Từ định nghĩa ta suy ra toạ độ hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz và các mặt phẳng toạ độ (0xy). (0yz), (0xz)
là các điểm M1(x; 0; 0), M2(0; y; 0), M3(0; 0; z), M`(x;y;0) , M``(0; y; z), M"`(x; 0; z).
Trần Trọng Tiến
Đình Lập
I. Toạ độ của điểm và của véctơ
2. Toạ độ của một điểm
M2
? M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z).
3. Toạ độ của vectơ
Trong không gian Oxyz cho a . Khi đó tồn tại duy nhất một bộ ba số (a1; a2; a3)
Ta gọi bộ ba số (a1; a2; a3) đó là toạ độ của vec tơ a đối với hệ toạ độ Oxyz cho trước và viết a = (a1; a2; a3) hoặc a(a1;a2;a3).
Nhận xét. Trong toạ độ Oxyz, toạ độ điểm M chính là toạ độ của vec tơ OM.
Ta có M=(x; y; z) ? OM = (x; y; z)
Trần Trọng Tiến
Đình Lập
I. Toạ độ của điểm và của véctơ
2. Toạ độ của một điểm
? M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z).
3. Toạ độ của vectơ.
Hoạt động 2. Trong toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A`B`C`D` có đỉnh A trùng với gốc O, có AB, AD, AA` theo thứ tự cùng hướng với i , j , k có AB=a, AD = b, AA` = c. Hãy tính toạ độ các véctơ AB , AC, AC` và AM với M là trung điểm cạnh C`D`.
Giải
Trần Trọng Tiến
Đình Lập
I. Toạ độ của điểm và của véctơ
? M= (x; y; z)
II. BTTĐ của các phép toán vectơ.
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
Chứng minh
Trần Trọng Tiến
Đình Lập
I. Toạ độ của điểm và của véctơ
? M= (x; y; z)
II. BTTĐ của các phép toán vectơ.
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
c) a và b cùng phương khi và chỉ khi a1=kb1 , a2 = kb2 , a3 = ka3
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi
Ví dụ 1. Cho A(1; 3; 2), B(3;-2;1) và C(4;-1;3). Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Giải
Do ABCD là hình bình hành khi đó ta có:
Vậy D = (2; 4; 4)
Trần Trọng Tiến
Đình Lập
I. Toạ độ của điểm và của véctơ
? M= (x; y; z)
II. BTTĐ của các phép toán vectơ.
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
c) a và b cùng phương khi và chỉ khi a1=kb1 , a2 = kb2 , a3 = ka3
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi
Ví dụ 2.
Cho A(1; 1; 1), B(0;7/3;2/3) và C(7/4; 0; 5/4). Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
Giải
=> AB , AC cùng phương hay A, B, C thẳng hàng.
Trần Trọng Tiến
Đình Lập
I. Toạ độ của điểm và của véctơ
? M= (x; y; z)
II. BTTĐ của các phép toán vectơ.
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
c) a và b cùng phương khi và chỉ khi a1=kb1 , a2 = kb2 , a3 = ka3
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi
Ví dụ 3. Cho A(1; 3; 2), M(3;-2;1) . Tìm toạ độ điểm B sao cho A, B đối xứng nhau qua điểm M.
Giải
Do A và B đối xứng nhau qua M nên M là trung điểm AB, nên ta có
Vậy toạ độ điểm B = (5; -7; 0)
Trần Trọng Tiến
Đình Lập
Củng cố
Qua bài học học sinh cần nắm được
Hệ toạ độ trong không gian.
Toạ độ của vectơ.
Toạ độ của điểm, toạ độ hình chiếu của một điểm trên các trục toạ độ và các mặt phẳng toạ độ.
Các phép toán về vectơ.
Điều kiện ba điểm thẳng hàng, phương pháp tìm toạ độ của một điểm qua phép đối xứng tâm.