Chương III. §1. Hệ tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ

trong không gian

(Phương trình mặt cầu)
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có tâm I(x0; y0; z0) và bán kính R
Hay IM2 = R2
nghĩa là (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2
6) Phương trình mặt cầu
và điểm M(x; y;z)
Phương trình (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2 được gọi là phương trình mặt cầu S(I;R)
Điểm M(x; y;z) thuộc (S) khi và chỉ khi IM = R
a) Định nghĩa:
Vậy mặt cầu tâm I(x0;y0;z0) bán kính R có phương trình
(x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2
Bài tập 2: hãy viết phương trình mặt cầu S đi qua 4 điểm A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0), C(0; 1; 0) và D(0; 0; 1)

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = 0
* Nhận xét:
Khi đó tâm mặt cầu là điểm I(-a; -b; -c) và bàn kính mặt cầu là R =
? (x - a)2 + (y - b )2 + (z - c)2 - (a2 + b2 + c2 )+ d = 0
? (x - a)2 + (y - b )2 + (z - c)2 = (a2 + b2 + c2 )- d
Vậy: phương trình x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = 0
laứ phửụng trỡnh maởt ca�u khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 - d > 0
Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là:
x2 + y2 + z2 = R2
* Chú ý:
O
x
y
z
R
. I
a
b
c
Mặt cầu có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với mp (Oxy) t�i �iĨm K th�
H
K
K( a ; b ; 0 )
? IK = OH =
c
* Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với (Oxy) (hoặc (Oxz) ; (Oyz)) có phương trình :
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = c2 ( hoặc b2 ; a2)
O
x
y
z
a
b
c
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với trục Oz
R
H
K
Tại điểm H( 0 ; 0 ; c )
Thì
R = IH = OK =
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
Bán kính R =
(x + 1)2 + (y - )2 + (z - 4)2 = 17
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
Giải:
b) (S) có đường kính AB với A(3 ; 2 ; - 4) ; B(- 3 ; 0 ; -2)
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
Tâm I của (S) là trung điểm của AB ? I (0 ; 1; -3)
Vậy phương trình mặt cầu (S):
x2 + (y - 1)2 + (z + 3)2 = 11
A
B
. I
Giải:
Bài tập 1:
Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình mặt cầu? Nếu là phương trình mặt cầu hãy tìm tâm và bán kính:
1) x2 + y2 +z2 - 2x - 6y - 8z + 1 = 0

2) x2 + y2 +z2 + 10x + 4y + 2z + 30 = 0

3) x2 + y2 +z2 - y = 0

4) 2x2+ 2y2+ 2z2- 2x- 3y+5z - 2 = 0

5) x2 + y2 +z2 - 3x + 4y - 8z + 25 = 0


Tâm I(1;3;4) và R=5
Tâm
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
1) Tâm O(0; 0 ; 0) và tiếp xác với mặt cầu (S’) có tâm
I(3; -2; 4) và bán kính bằng 1
2) Tâm I(3;-2; 4) và đi qua điểm A(7; 2; 1)
3) Tâm I(2; -1; 3) và tiếp xúc với mp (Oxy)
Bài tập về nhà
Bài tập trong sách Bài tập Hình 12:
Bài 31, 32, 33, 34 trang 121
Bài tập trong sách giáo khoa Hình học 12:
Bài 13; 14 trang 82