Chương III. §1. Hệ tọa độ trong không gian

Người soạn :

Bước I: Chọn hệ trục toạ độ gắn với bài toán
"Tín hiệu "để chọn hệ trục là trong bài toán có chứa các đường thẳng vuông góc nhau , ta sẽ chọn các trục chứa các đường thẳng vuông góc đó
Bước II: Phiên dịch bài toán hình học sang ngôn ngữ toạ độ
Bước III: Dùng ngôn ngữ vecter, toạ độ để giải bài toán
Bước IV: Phiên dịch bài toán trở lại ngôn ngữ hình học ban đầu
Một số cách chọn hệ trục trong không gian
I, đối với hình hộp chữ nhật - hình lập phương:
Chọn gốc là 1 trong 8 đỉnh
Ba cạnh phát xuất từ một đỉnh nằm trên 3 trục
II, Chóp tam giác có góc tam diện đỉnh vuông
Chọn gốc của hệ trục trùng với đỉnh của góc tam diện vuông
Ba trục chứa ba cạnh phát xuất từ đỉnh góc tam diện vuông đó
Iii, Tứ diện đều
Cách I:
Dựng hình lập phương ngoại tiếp tứ diện đều
Chọn hệ trục có gốc trùng với 1 đỉnh của hình lập phương
Ba cạnh phát xuất từ đỉnh đó nằm trên 3 trục
Iii, Tứ diện đều
Cách II:
Hai trục lần lượt chứa đường cao và một cạnh tương ứng của mặt BCD
Trục còn lại vuông góc với mặt BCD ( cùng phương với đường cao AG).
Chú ý : Chóp tam giác đều cũng chọn như cách 2 này
x
y
z
O
iV, Chóp tứ giác có đáy là hình thoi , các cạnh bên bằng nhau
Trục Oz chứa đường cao SO của hình chóp
Hai trục Ox , Oy lần lượt chứa hai đường chéo đáy
Chú ý : Hình chóp tứ giác đều ( đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau ) cũng chọn như vậy.
V, Chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật , các cạnh bên bằng nhau
Chọn hai trục chứa hai cạnh hình vuông đáy
Trục thứ ba vuông góc đáy ( cùng phương với đường cao SO của hình chóp - trục Az này nằm trong mặt chéo SAC)
Vi, Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân
Chọn hai trục lần lượt là cạnh đáy và chiều cao tương ứng của tam giác cân là đáy của chóp
Trục còn lại chứa đường trung bình của mặt bên
Chú ý : Lăng trụ tam giác đều cũng chọn như vậy.
VII, lĂNG TRụ Đứng có đáy là hình thoi :
Chọn trục cao nằm trên đường thẳng nối tâm hai đáy
Hai trục kia chứa hai đường chéo đáy
Chú ý : Lăng trụ tứ giác đều cũng chọn như vậy ( lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng có đáy là hình vuông)
Viii, lĂNG TRụ Đứng có đáy là tam giác vuông :
Chọn đỉnh tam giác vuông đáy làm gốc . Ba trục chứa ba cạnh phát xuất từ đỉnh này
Các bài toán minh hoạ
Lời giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ : A1 trùng với O , Ox chứa cạnh A1B1 , Oy chứa cạnh A1D1 , Oz chứa cạnh A1A
Trong hệ trục đã chọn ta có :
A1(0 ; 0 ; 0) , B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) , D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) , B(a ; 0 ; a) , C(a ; a ; a) , D (0 ; a ; a)
z
C1
D1
B
C
D
y
a
a, Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng A1B và B1D
A1B và B1D là hai cạnh đối của tứ diện A1D1B1B nên chéo nhau , do đó:
A1(0 ; 0 ; 0) ,
B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) , D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) ,
B(a ; 0 ; a) ,
C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)
b, Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1 , CD , A1D1 . Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N
A1(0 ; 0 ; 0) ,
B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) ,
D1( 0 ; a ; 0 ) ,

A(0 ; 0 ; a) ,
B(a ; 0 ; a) ,
C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)
M
N
P
Bài 2:(Đại học khối A- năm 2002)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S , cạnh đáy bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SB , SC . Tính diện tích tam giác AMN biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).
Lời giải
Lời giải
M
m
M nằm trên đoạn AD và AM = m nên M(m ; 0 ; 0)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2a - m = 2a hay m = 0 , điều này cũng đồng nghĩa M trùng A
M
N
K
2a, mp(B`CK) cũng chính là mp(B`CM) , mp này có điểm chung với mặt AA`D`D ở điểm M nên nó cắt mặt AA`D`D theo giao tuyến qua M và song song với B`C ( vì B`C song song với mặt AA`D`D ) , giao tuyến này cắt AA` tại N . Nối NB` ta thu được thiết diện là hình thang B`CMN ( do MN song song với B`C)
Vì M là trung điểm AD nên M( a ; 0 ; 0)
Đường thẳng B`C có véctơ chỉ phương là
Vì MN song song với B`C và B`C song song với A`D nên MN song song A`D , mà M là trung điểm AD nên N là trung điểm AA`
2b, CMR đường thẳng B`M tiếp xúc với mặt cầu
đường kính AA`
N là trung điểm AA` nên
Mặt cầu đường kính AA` có tâm là N , có bán kính R = AA`/2 , ta có :
Vậy đường thẳng B`M tiếp xúc với mặt cầu đường kính AA`