Chương II. §6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

TRƯỜNG THCS & THPT BÙI THỊ XUÂN ĐÀ LẠT
GV: TRẦN QUANG TUYÊN
Năm học: 2008 - 2009
TÍNH CHÂT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
1/ Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau:
?1 : Cho hình vẽ sau, trong đó AB; AC theo thứ tự là các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O). Hãy kể tên một vài đoạn thẳng bằng nhau, một vài góc bằng nhau trong hình?
ĐỊNH LÝ:
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
a/ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
b/ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
c/ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
Chứng minh:
Gọi BA và CA theo thứ tự là các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: và
Hai tam giác vuông AOB và AOC có:
OA = OB và OA là cạnh chung
Nên (cạnh huyền-cạnh góc vuông).
Suy ra: AB = AC; và nên AO là tia phân giác của góc BAC
Nên OA là tia phân giác của của góc BOC
Chứng minh:
?2 : Hãy nêu cách tìm tâm của một miếng gỗ hình tròn bằng “thước phân giác”
2/ Đường tròn nội tiếp tam giác:
?3 : Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác; D; E; F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến các cạnh BC; AC; AB. Chứng minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đường tròn tâm I.
Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nột tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn
3/ Đuờng tròn bàng tiếp tam giác:
?4 : Cho tam giác ABC, K là giao điểm các đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C; D, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ K đến các đường thẳng BC, AC, AB. Chứng minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đường tròn có tâm là K.
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phân kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác trong góc A và đường phân giác góc ngaòi tại B (hoặc C).
Với một tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)
a/ Chứng minh OA vuông góc với BC
b/ Vẽ đường kính CD. Chứng minh BD // AO
c/ Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2cm, OA = 4cm
Bài tập áp dụng: Bài 26/115 sgk
Chứng minh:
a/ OA vuông góc với BC
Do AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C nên OA là phân giác của góc BOC (theo tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm)
Mặt khác: tam giác BOC cân tại O (vì OB = OC = R)
H
Ta có: OH là phân giác xuất phát từ đỉnh O nên đồng thời cũng là đường cao
Vậy OH vuông góc với BC hay AO vuông góc với BC (đpcm)
b/ BD // OA
Ta có tam giác DBC vuông tại B (tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy). Hay
Mặt khác:
H
(Do chứng minh ở câu a/)
Từ (1) và (2) ta suy ra BD // OA
c/ Tính các cạnh của tam giác ABC:
Trong tam giác vuông ABO, ta có: AB2 = AO2 – OB2
AB2 = 42 – 22 = 16 – 4 = 12 Vậy AB =
Xét tam giác vuông ABO, ta có: AB.BO = AO.BH
Suy ra:
Vậy BC = 2.BH =
Dặn dò:
1/ Học thuộc nội dung định lý, các định nghĩa về đường tròn nội tiếp tam giác, đường tròn bàng tiếp tam giác
2/ Làm các bài tập 27, 28, 29 trang 116 sgk
TIẾT HỌC KẾT THÚC
HẸN GẶP LẠI