Chương II. §5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Lược đồ giải phương trình mũ
Bước 1:
Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình
Bước 2:
Lựa chọn phương pháp thực hiện
Phương pháp 1:
Biến đổi tương đương
Phương pháp 2:
Logarit hoá và đưa về cùng cơ số
Phương pháp 3:
Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ:
a. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ
b. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x
c. Sử dụng k ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành hệ pt với k ẩn phụ
d. Sử dụng một ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành hệ phương trình với một ẩn phụ và một ẩn x
Phương pháp 4:
Hàm số bao gồm:
a. Sử dụng tính liên tục của hàm số
b. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
c. Sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
d. Sử dụng định lý Lagrange
e. Sử dụng định lý Rôn
Phương pháp 5:
Đồ thị
Phương pháp 6:
Điều kiện cần và đủ
Phương pháp 7:
Đánh giá
Chú ý:
1. Trong trường hợp sử dụng pp biến đổi tương đương, ta có thể bỏ qua bước 1 để giảm thiểu độ phức tạp
2. Nếu lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ thì:
a. Với phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần thiết lập điều kiện hẹp cho ẩn phụ.
b. Với phương trình chứa tham số phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.
Thí dụ: Nếu đặt t = x2 thì:
a. Với phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần điều kiện t > 0
b. Với phương trình chứa tham số phải cần điều kiện
t ≥ 1
Bài toán 1:
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:
hoặc
Ví dụ 1: Cho phương trình:
Biến đổi tương đương pt về dạng:
Vậy, với ...
a. Giải pt với m = 1
b. Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
a. Với m = 1, ta được:
b. Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
(2) có hai nghiệm trái dấu
a.f(0) < 0
Vậy, với ...
Ví dụ 2: Cho phương trình:
Biến đổi tương đương pt về dạng:
a. Giải pt với m = 1
b. Tìm m để pt có ba nghiệm phân biệt.
Vậy, với ...
a. Với m = 1, ta được:
b. Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
(2) có hai nghiệm phân biệt khác
Vậy, với ...
Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình:
Phương trình tương tương với:
Điều kiện: x – 2 > 0
Vậy pt có nghiệm x = 3 với mọi a.
Xét phương trình:
Khi đó, ta có biện luận:
Nếu a + 1 < 0
Nếu a + 1 = 0
, pt vô nghiệm
, pt có nghiệm x = -1 (loại vì không thoả (*) ).
Nếu a + 1 > 0
, pt có hai nghiệm:
( < 0: loại)
Ta có:
Kết luận:
- Với a ≤ 8 pt có nghiệm x = 3
- Với a > 8 pt có hai nghiệm x = 3 và
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Biến đổi tương đương pt về dạng:
Giải (1) bằng cách nhân lượng liên hợp, ta được:
Vậy,...
Ví dụ 5: Giải phương trình:
Phương trình được viết lại dưới dạng:
Giải (1) ta được:
thoả (*)
Giải (2) ta được:
Để thoả mãn điều kiện (*) ta phải có:
Khi đó ta nhận nghiệm
Vậy, ...
Bài toán 2:
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Dạng 1: Phương trình:
Dạng 2: Phương trình:
hoặc
Bài toán 2:
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Dạng 2: Phương trình:
hoặc
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a. Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình, ta được:
Ta có:
Suy ra pt có 2 nghiệm:
Vậy, ....
b. Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình, ta được:
Ta có:
Suy ra pt có 2 nghiệm:
Vậy, ....
c. Lấy logarit cơ số 10 hai vế phương trình, ta được:
Vậy, ....
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Biến đổi pt dưới dạng:
Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình, ta được:
Vậy, ...
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Biến đổi pt dưới dạng:
Vậy, ...
BÀI TOÁN 3
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ - DẠNG 1
PP đặt ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ
Dạng 1:
Phương trình
Đặt t = ax, điều kiện t > 0
Dạng 2:
Phương trình
, với a.b = 1
Đặt t = ax, điều kiện t > 0
Dạng 3:
Phương trình
Chia hai vế của pt cho b2x > 0 (hoặc a2x, (ab)x) ta được:
Đặt
, điều kiện t > 0, ta được:
Ví dụ 1: Cho phương trình:
(m + 3).16x + (2m – 1). 4x + m + 1 = 0 (1)
a. Giải phương trình với
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Đặt t = 4x,
điều kiện t > 0.
Khi đó pt có dạng:
(m + 3).t2 + (2m – 1)t + m + 1 = 0 (2)
a. Với
ta được:
Vậy,...
b. Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, tức là:
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 thoả mãn:
Vậy,...
Ví dụ 2: Cho phương trình:
a. Giải phương trình với m = 2
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 + x2 = 3
Đặt t = 2x,
điều kiện t > 0.
Khi đó pt có dạng:
b. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 tương ứng
Vì x1 + x2 = 3
Vậy để pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho
x1 + x2 = 3
Pt (2) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 thoả mãn t1.t2 = 8
Vậy,....
Ví dụ 3: Cho phương trình:
a. Giải phương trình với m = 9
b. Xác định m để pt có nghiệm
Đặt
, vì
Khi đó pt có dạng:
b. Ta xét các trường hợp:
▪ Với m = 2
do đó pt vô nghiệm
▪ Với m ≠ 2
(1) có nghiệm
(2) có nghiệm t ≥ 2
có 1 nghiệm t ≥ 2
có 2 nghiệm t ≥ 2
Vậy, ...
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Điều kiện:
sinx ≠ 0
Vì
nên (1) được viết lại dưới dạng:
Đặt
, vì
Khi đó (2) có dạng:
Thoả (*)
Vậy, ...
Ví dụ 5: Cho phương trình:
a. Giải phương trình với m = 1
b. Tìm m để pt có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn
Nhận xét rằng:
Do đó, nếu đặt
, điều kiện t > 0
thì
Khi đó pt (1) tương đương với:
b. Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 tương ứng:
và
Vì:
Vậy, để (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn
(2) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 thoả mãn t1 = 3t2
Vậy, ...
Ví dụ 6: Giải phương trình:
Nhận xét rằng:
Do đó, nếu đặt
, điều kiện t > 0
thì
và
Khi đó pt tương đương với:
...............
Ví dụ 7: Giải phương trình:
Nhận xét rằng:
Do đó, nếu đặt
, điều kiện t > 0
thì
Khi đó pt tương đương với:
...........
Ví dụ 8: Cho phương trình:
a. Giải phương trình với m = 1
b. Tìm m để pt có nghiệm duy nhất
Biến đổi pt về dạng:
Chia cả hai vế của pt (2) cho
, ta được:
Đặt
, vì
Khi đó pt (3) tương đương với:
f(t) = t2 – mt -2 = 0 (4)
a. Với m = 1, ta được:
Vậy,...
b. Để pt có nghiệm duy nhất
Vậy,...
(4) có nghiệm t1, t2 thoả
(vì a.c = -2 < 0)
Ví dụ 9: Giải phương trình:
Chia cả hai vế của pt cho
, ta được:
Đặt
, điều kiện t > 0
Khi đó pt tương đương với:
Vậy,...
Ví dụ 10: Giải phương trình:
Viết lại pt dưới dạng:
Đặt
, suy ra
Khi đó pt (1) có dạng:
t3 + 6t -6t = 1
Đặt u = 2x > 0
Khi đó pt (2) có dạng:
Vậy, ...
Ví dụ 11: Giải phương trình:
Điều kiện: 1 – 22x > 0
Như vậy
, đặt 2x = sint với
Khi đó pt có dạng:
Vậy, ...
Bài toán 4: Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2
Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Đặt t = 3x, điều kiện: t > 0
Khi đó pt tương đương với:
▪ Với t = 9
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Đặt
, điều kiện t ≥ 1
vì x2 ≥ 0
Khi đó pt tương đương với:
▪ Với ....
▪ Với t = 1 – x2
Ta có nhận xét:
Vậy, ...
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Đặt
, điều kiện t > 0
Khi đó pt tương đương với:
Đặt u = 4, ta được:
Vậy, ...
Ví dụ 4: Cho phương trình:
a. Giải pt với m = 2
b. Xác định m để pt có 3 nghiệm phân biệt
Đặt
, điều kiện t > 0
Khi đó pt tương đương với:
Coi m là ẩn, còn t là tham số, ta được pt bậc 2 theo m, giải ra ta được:
a. Với m = 2, ta được:
Vậy, ...
b. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Vậy, ...
pt (3) có 2 nghiệm phân biệt dương khác
Tức là:
Bài toán 5: Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3
Sử dụng 2 ẩn phụ cho hai biểu thức loga trong pt và khéo léo biến đổi pt thành phương trình tích.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Viết lại pt dưới dạng:
Vậy, ....
Ví dụ 2: Cho phương trình:
a. Giải pt với m = 1
b. Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt
Viết lại pt dưới dạng:
Đặt:
Khi đó, pt tương đương với:
mu + v = uv + m
Vậy, với mọi m pt luôn có hai nghiệm x = 3, x = 2
b. Để (1) có 4 nghiệm phân biệt
(*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 và khác 3
Khi đó điều kiện là:
Vây, ....
BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 4
PP đặt ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình với k ẩn phụ.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Viết lại pt dưới dạng:
Đặt:
Khi đó:
Pt tương đương với:
● Với u = v = 2, ta được:
● Với u = 9 và , ta được:
Vậy, ....
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Đặt u = 2x, điều kiện u > 0
Khi đó pt được chuyển thành:
Đặt v =
, điều kiện
Khi đó pt được chuyển thành hệ:
● Với u = v, ta được:
● Với u + v + 1 =0 , ta được:
Vậy,...
BÀI TOÁN 7
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Cho phương trình f(x) = 0, để chứng minh phương trình có k nghiệm phân biệt trong [a,b], ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Chọn các số a < T1 < T2 < ....< Tk-1 < b chia đoạn [a,b] thành k khoảng thoả mãn:
Bước 2: Kết luận
Ví dụ 1: Cho phương trình:
Chứng minh rằng pt có đúng 2 nghiệm phân biệt và chúng nhỏ hơn 1.
Đặt t = 2x, t > , ta được:
Xét hàm số:
liên tục trên R.
Ta có: f(-2) = -11
, f(0) = 1
, f(1) = -3
, f(2) = 13
Suy ra:
f(-2).f(0) < 0, (2) có 1 nghiệm
loại vì t > 0
f(0).f(1) = -3 < 0, (2) có 1 nghiệm
f(1).f(2) = -39 < 0, (2) có 1 nghiệm
Vậy ta được 0 < t1 < t2 < 2
Vậy, pt có đúng 2 nghiệm phân biệt và chúng nhỏ hơn 1
BÀI TOÁN 8
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Hướng 1:
Bước 1:
Chuyển pt về dạng f(x) = k
Bước 2:
Xét hàm số y = f(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)
Bước 3:
Nhận xét
Với
, do đó x = x0 là nghiệm
Với
Với
, do đó pt vô nghiệm
, do đó pt vô nghiệm
Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng 2:
Bước 1:
Chuyển pt về dạng f(x) = g(x) (2)
Bước 2:
Xét hàm số y = f(x) và g(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là hàm đồng biến còn hàm y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến
Bước 3:
Xác định x0 sao cho f(x0) = g(x0)
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = x0.
Hướng 3:
Bước 1:
Chuyển pt về dạng f(u) = f(v) (3)
Bước 2:
Xét hàm số y = f(x)
Bước 3:
Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)
Khi đó:
Ví dụ 1: Cho phương trình:
Chứng minh rằng với mọi m pt luôn có nghiệm duy nhất
Số nghiệm của pt là số giao điểm của đồ thị hàm số
với đường thẳng y = m.
Xét hàm số:
xác định trên D = R.
Nhận xét rằng:
Hàm số y = 3x là hàm đồng biến.
Hàm số
là hàm nghịch biến
Do đó hàm số
đồng biến
Giới hạn:
Bảng biến thiên:
Vậy với mọi m pt luôn có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Điều kiện x > 0
Biến đổi pt về dạng:
Vế phải của pt là một hàm nghịch biến
Vế trái của pt là một hàm đồng biến
Do vậy, nếu pt có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất.
Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của pt (2) vì
Vậy, ...
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Chia 2 vế của pt cho 3x ≠ 0, ta được:
Xét hàm số
, hàm này là hàm nghịch biến.
Ta có:
Với x = 2, f(2) = 1 do đó x = 2 là nghiệm của pt (1)
Với x > 2, f(x) < f(2) = 1 do đó pt (1) vô nghiệm
Với x < 2, f(x) > f(2) = 1 do đó pt (1) vô nghiệm
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của pt.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Điều kiện:
Đặt
suy ra:
Khi đó (1) có dạng:
Xét hàm số
Tập xác định:
Đạo hàm:
Suy ra hàm số tăng trên D.
Mặt khác,
Vậy (2)
f(u) = f(1)
u = 1
Vậy, ...
Ví dụ 5: Cho phương trình:
a. Giải pt với
b. Giải và biện luận phương trình.
Đặt t = x2 + 2mx + 2, pt có dạng:
Xét hàm số
Tập xác định:
Đạo hàm:
Suy ra hàm số tăng trên D.
Vậy (1)
f(t) = f(2t + m – 2)
t = 2t + m – 2
t + m – 2 =0
x2 + 2mx + m = 0 (2)
a. Với
, ta được:
b. Xét pt (2), ta có:
b. Xét pt (2), ta có:
Nếu
Pt (2) vô nghiệm
Pt (1) vô nghiệm
Nếu
- Với m = 0 pt (2) có nghiệm kép x0 = 0
- Với m = 1 pt (2) có nghiệm kép x0 = -1
Nếu
Pt (2) có hai nghiệm phân biệt
đó cũng là nghiệm của (1)
Kết luận:
-Với m = 0, ...
-Với m = 1, ...
-Với 0-Với m>1 hoặc m<0, ...
BÀI TOÁN 9
SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
Với pt chứa tham số f(x,m) = g(x,m) (1)
Bước 1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x,m) và đường thẳng
y = g(x,m)
Bước 2: Xét hàm số y = f(x,m)
Tập xác định D
Tính đạo hàm y’, rồi giải pt y’ = 0
Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Kết luận:
Pt có nghiệm
Pt có k nghiệm phân biệt
(d) cắt (C) tại k điểm phân biệt
Pt có vô nghiệm
Ví dụ 1: Cho phương trình:
a. Giải pt với
b. Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt
Số nghiệm của pt là số giao điểm của đồ thị hàm số
với đường thẳng y = m.
Xét hàm số
, xác định trên D = R
Giới hạn:
Bảng biến thiên:
Vì 3>1 nên sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên của hàm số t = x2 – 4x + 3, ta có:
a. Với
, pt vô nghiệm
b. Pt có 2 nghiệm phân biệt khi
Ví dụ 2: Cho phương trình:
a. Giải pt với m = 8
b. Tìm m để pt có nghiệm
Số nghiệm của pt là số giao điểm của đồ thị hàm số
với đường thẳng y = m.
b. Giải pt với m = 27
Viết lại pt dưới dạng:
Giới hạn:
Xét hàm số
, xác định trên D = R
Bảng biến thiên:
Vì 3>1, 4>1 nên sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên của hàm số t = x2 – 2x + 2, ta có:
a. Với
, pt có nghiệm duy nhất x = 1
c. Pt có nghiệm khi
b. Với m = 27
, pt có 2 nghiệm phân biệt x = 0, x = 2
BÀI TOÁN 10
SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE
Định lý Lagrange: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và f’(x) tồn tại trên (a,b) thì luôn
sao cho:
Bước 1: Giả sử  là nghiệm của phương trình, khi đó:
Bước 2: Biến đổi pt về dạng thích hợp f(a) = f(b), từ đó chỉ ra được hàm số F(t) khả vi và liên tục trên [a,b]
Khi đó theo định lý Ragrange thì luôn
sao cho:
Bước 3: Giải (*) ta xác định được .
Bước 4: Thử lại.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Viết lại pt dưới dạng:
Giả sử  là nghiệm của pt, khi đó:
Xét hàm số
với t > 0.
Từ (2) ta nhận được f(5) = f(2), do đó theo định lý ragrange tồn tại c  (2,5) sao cho:
Thử lại ta thấy x = 0 và x = 1 đều thoả mãn (1)
Vậy, pt có hai nghiệm x = 0 và x = 1
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Viết lại pt dưới dạng:
Giải sử  là nghiệm của pt, khi đó:
Xét hàm số
với t > 0.
Từ (2) ta nhận được f(3) = f(2), do đó theo định lý ragrange tồn tại c  (2,3) sao cho:
Thử lại ta thấy đều thoả mãn (1)
Vậy, pt có hai nghiệm
BÀI TOÁN 11
SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ RÔN
Bước 1: Tìm tập xác định của phương trình
Giả sử cần giải phương trình f(x) = 0 (1)
Bước 2: Xét hàm số y = f(x) trên D.
Sử dụng đạo hàm khẳng định hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên D.
Bước 3: Vậy pt (1) nếu có nghiệm sẽ có không quá hai nghiệm
Ta chỉ cần chỉ ra hai giá trị x1, x2  D sao cho:
f(x1) = f(x2)
Bước 4: Kết luận
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Viết lại pt dưới dạng:
Xét hàm số
trên R, ta có:
hàm số lõm.
Vậy pt (1) nếu có nghiệm sẽ không có quá hai nghiệm.
Ta có:
f(1) = f(2) = 0
Do đó pt có hai nghiệm là x = 1 và x = 2.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Viết lại pt dưới dạng:
Xét hàm số
trên R, ta có:
hàm số lõm.
Vậy pt (1) nếu có nghiệm sẽ không có quá hai nghiệm.
với
Ta có:
Do đó pt có hai nghiệm là x = 0 và x = 1.
f(0) = f(1) = 0
BÀI TOÁN 12
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của pt có nghĩa
Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ, trong bước này cần có được một số kỹ năng cơ bản.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm x = x0 suy ra:
cũng là nghiệm của (1)
Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi
Thay x0 = 2 vào (1), ta được m = 1.
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất
Điều kiện đủ:
Giả sử m = 1, khi đó (1) có dạng:
là nghiệm duy nhất
Vậy, ....
BÀI TOÁN 13
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên:
a. Tam thức bậc hai
b. Tính chất hàm số mũ
c. Các bất đẳng thức cơ bản, côsi, Bunhiacopski, ...
d. Tính chất trị tuyệt đối
..............
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Ta có: x2 ≥ 0
Và cos2x ≤ 1
Suy ra pt đã cho tương đương với hệ:
Vậy, ...
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Điều kiện x ≥ 1
Ta có nhận xét:
Suy ra pt đã cho tương đương với hệ:
Vậy, ...
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Điều kiện: 16 – x2 ≥ 0
Ta có nhận xét:
Suy ra pt đã cho tương tương với hệ:
Vây, ...
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Đặt:
điều kiện a, b >0
Khi đó pt có dạng:
Nhận xét rằng:
Vậy pt tương đương với:
b + 1 = a + 1 = a + b
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 0
Ví dụ 5: Giải phương trình:
Đặt:
, điều kiện t >0
Khi đó pt có dạng:
Nhận xét rằng:
Vậy pt tương đương với:
Vậy,...
ĐÁNH GIÁ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULI
Với mọi t > 0, ta luôn có:
Với phương trình mũ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Biến đổi phương trình về dạng:
Vậy, pt có 2 nghiệm x = 0 và x = 1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Biến đổi phương trình về dạng:
Vậy, ....
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Theo bất đẳng thức Bernouli ta có:
Với x ≥ 1 hoặc x ≤ 0
dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0 hoặc x = 1
Với x  (0,1)
pt vô nghiệm
Vậy, ...
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Theo bất đẳng thức Bernouli ta có:
Với x ≥ 1 hoặc x ≤ 0
dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0 hoặc x = 1
Với x  (0,1)
pt vô nghiệm
Vậy, ...