Chương II. §5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Bài 5: Phương trình mũ và phương trình Lôgarit
I. Phương trình mũ.
Bài toán mở đầu: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% năm và lãi suất hàng năm được cộng vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu.
? Tìm mối liên hệ giữa n và P ?
Chú y: Số tiền lãi hàng năm được cộng vào vốn ban đầu.
?Nếu P là số tiền gởi ban đầu, sau n năm số tiền là Pn, thì Pn được xác định bằng công thức nào?
HD:
MINH HOẠ
Giải.
Gọi số tiền ban đầu là P, số năm là n, số tiền thu được
ở năm bất kỳ là Pn thì:
• Pn = P(1 + 0,084)n
• Pn = 2P
Do đó: (1 + 0,084)n = 2
Vậy n = log1,084 2 ≈ 8,59
+ n  N, nên ta chon n = 9.
?Yêu cầu bài toán là gì? Và người ta cho điều kiện nào để giúp ta giải được bài toán?
b. Nhận xét: Để giải phương trình này chúng ta phải chú ý đến đingj nghĩa của Lôgarit.
+ Với b > 0, ta có:

+ Với b 0, phương trình ax = b vô nghiệm.
Nhận xét: những bài toán thực tế như trên chúng ta gặp rất nhiều, hầu hết những bài toán dạng này đều đưa đến việc tìm ẩn nằm trên số mũ của luỹ thừa, công việc đi tìm ẩn nằm trên số mũ của luỹ thừa đưa ta đến việc giải một loại pt gọi là pt mũ.
1. Phương trình mũ cơ bản
a. Định nghĩa :
+ Phương trình mũ cơ bản có dạng : ax = b, (a > 0, a ≠ 1)
?Để giải phương trình trên chúng ta phải làm gì ?
Minh hoạ bằng đồ thị:
* Với 0 < a < 1
* Với a > 1
Kết luận: SGK-trang 79
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
32x + 1 - 9x = 4
Giải
32x + 1 - 9x = 4
 3.9x – 9x = 4
 9x = 2
 x = log92
* Tương tự về tham khảo ví dụ 1 (sgk-80)
a. Đưa về cùng cơ số.
Nếu a > 0, a ≠ 1. Ta luôn có: aA(x) = aB(x) A(x) = B(x)
Áp dụng nhận xét trên hãy giải phương trình sau:
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 22x+5 = 24x+1.3-x-1
?Làm thế nào để đưa pt trên về dạng nhận xét trên?
2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản.
Nhận xét: ta thấy 24 phân tích được về dạng tích các luỹ thừa cơ số là 3 và 2.
Chú ý: Về xem ví dụ 2-sgk trang 80
Giải
22x+5 = 24x+1.3-x-1
 22x+5 = 3x+1.8x+1.3-x-1
 22x+5 = 8x+1
 22x+5 = 23(x+1)
 2x + 5 = 3x + 3
 x = 2.
Ví dụ: 9 x - 4.3x -45 = 0 (1)
? Hãy nhận xét về mối quan hệ giữa các đại lượng chứa
ẩn trong phương trình trên?
Nhận xét: Ta thấy các đại lượng chứa ẩn trong pt trên đều biểu diễn qua được một đại lượng chung đó là: 3x
Giải
Đặt t = 3x ( điều kiện t > 0). Pt đã cho đưa về dạng:
t2 – 4t – 45 = 0
↔(t-9)(t+5)=0
↔t = 9 v t = - 5
Với điều kiện của t chỉ có một nghiệm t = 9 thoả mãn.
Với t = 9 ta có 3x = 9 ↔x = 2
b) Phương pháp đặt ẩn phụ: Ta đặt một hay một nhóm các hạng tử chứa ẩn bằng một ẩn phụ noà đó để đưa pt ban đầu về dạng pt đơn giản và giải
c) Lôgarit hoá:
Thường sử dụng cho các phương trình có dạng tích ở hai vế hoặc đưa được dạng tích ở hai vế, sau đó lấy lôgarit hai vế để đưa về dạng đơn giản.
+ Đây là phương trình trông đơn giản nhưng cách giải đại số thông thường khó có thể giải được.
+ Ta nhận thấy hai vế đều dương và ở dạng tích nếu, lấy lôgarit hai vế ta sẽ đưa được số mũ phức tạp từ trên luỹ thừa xuống dưới và giải rất đơn giản.
Như vậy bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta đã đưa một pt phức tạp về pt đơn giản hơn.

Về nhà làm bài tập 1, 3 trang 84.
Như vậy để giải một pt mũ chúng ta có thể có nhiều cách giải. Để hiểu sâu thêm và nắm được cách giải chúng ta làm thêm những bài tập sau:
THE END
XIN CẢM ƠN CÁC THẦY CÔ GIÁO
VÀ CÁC EM!
THE END